Introduction aux fractions et grandeurs au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges demande une maîtrise parfaite des opérations sur les nombres en écriture fractionnaire. Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2016 (Exercice 7), est un modèle du genre. Il combine deux compétences fondamentales : la gestion des fractions d'une quantité et la résolution de problèmes impliquant des grandeurs composées (superficies terrestres). Comprendre comment manipuler une proportion par rapport à un reste est essentiel pour réussir ce type d'énoncé classique.

Analyse Méthodique de l'exercice

Dans cet énoncé, nous travaillons sur la superficie totale de la Terre. La première étape consiste à identifier l'unité de référence, qui est ici la Terre entière. La donnée initiale nous indique que les continents occupent $\dfrac{5}{17}$ de cette surface. Pour aborder la question 1, le raisonnement doit se faire en deux temps.

D'abord, il faut déterminer la 'superficie restante'. Mathématiquement, si une partie représente $\dfrac{5}{17}$, le reste est égal à l'unité moins cette part, soit $1 - \dfrac{5}{17}$. En réduisant au même dénominateur, on obtient $\dfrac{17}{17} - \dfrac{5}{17} = \dfrac{12}{17}$. C'est sur ce résultat que s'applique la seconde information : l'océan Pacifique recouvre la moitié de ce reste. L'élève doit alors multiplier les fractions entre elles : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{12}{17}$. Le calcul donne $\dfrac{12}{34}$, ce qui se simplifie immédiatement en $\dfrac{6}{17}$. Le raisonnement logique est ici plus important que le calcul brut.

Passage aux Grandeurs Composées et Calcul de Surface

La question 2 nous fait passer de l'abstraction des fractions à la réalité physique des grandeurs composées. On nous donne une valeur concrète : la superficie de l'océan Pacifique est de $\np{180000000}$ km². Grâce à la question précédente, nous savons que cette valeur correspond à $\dfrac{6}{17}$ de la superficie totale de la Terre. Pour retrouver la totalité ($17/17$), il existe deux méthodes.

La première méthode consiste à trouver la valeur de $\dfrac{1}{17}$ en divisant $\np{180000000}$ par $6$, puis à multiplier le résultat par $17$ pour obtenir le tout. La seconde méthode consiste à poser une équation simple où $x$ est la superficie de la Terre : $\dfrac{6}{17}x = \np{180000000}$. En isolant $x$, on effectue l'opération $x = \np{180000000} \times \dfrac{17}{6}$. Le résultat final est de $\np{510000000}$ km², une valeur cohérente avec les données géographiques réelles, ce qui permet à l'élève de vérifier la pertinence de son calcul.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans la mauvaise lecture de l'expression 'la moitié de la superficie restante'. De nombreux élèves font l'erreur de calculer la moitié de la superficie totale ou la moitié de la part des continents. Il est crucial de bien définir la 'base' sur laquelle s'applique la fraction. Un autre point de vigilance concerne les zéros lors du calcul final. Travailler avec des millions demande une grande rigueur dans l'écriture pour ne pas commettre d'erreur d'un facteur 10. Enfin, n'oubliez jamais de préciser l'unité (km²) dans votre réponse finale, car il s'agit d'une grandeur physique.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en utilisant des connecteurs logiques. Commencez par 'Soit $x$ la superficie totale...' ou utilisez des phrases explicites comme 'Calculons d'abord la part restante après avoir retiré les continents'. Présentez vos calculs de fractions de manière claire, en montrant les étapes de simplification. Pour la question finale, une phrase de conclusion rappelant la donnée calculée est indispensable. Cela montre au correcteur que vous avez non seulement maîtrisé l'outil mathématique, mais que vous avez aussi compris le sens physique du problème posé.