Introduction : Les fonctions et la cinématique au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2016 (Amérique du Sud) est un cas d'étude particulièrement riche qui mobilise plusieurs compétences fondamentales du programme de 3ème. Il s'articule autour de quatre thématiques majeures : les fonctions, les fractions (à travers les rapports de proportionnalité), les vitesses et la recherche d'informations au sein d'un document complexe. Cet exercice propose une mise en situation réelle : l'atterrissage d'un avion à l'aéroport international Galeao de Rio de Janeiro. L'élève doit analyser la distance de freinage d'un appareil selon deux modes (confort ou rapide) en fonction de sa vitesse initiale.

Analyse méthodologique de la lecture graphique

La première partie de l'exercice repose sur une lecture graphique précise d'un repère orthogonal. Ici, l'axe des abscisses représente la vitesse d'atterrissage en $km.h^{-1}$ (allant de 0 à 520) et l'axe des ordonnées représente la distance de freinage en mètres (allant de 0 à 4200).

Pour la question 1.a, il s'agit d'identifier la distance de freinage pour une vitesse de 320 $km.h^{-1}$ en mode « confort ». La méthode consiste à se placer sur la valeur 320 sur l'axe horizontal, à monter verticalement jusqu'à rencontrer la courbe de freinage « confort » (la courbe supérieure), puis à reporter ce point horizontalement sur l'axe des ordonnées. L'élève doit noter que pour une vitesse donnée, la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse mais suit une progression parabolique (modélisée par une fonction de type $f(x) = ax^2$).

Pour la question 1.b, la démarche est inverse : on part de l'ordonnée (1500 m) sur l'axe vertical, on se déplace horizontalement jusqu'à l'intersection avec la courbe de freinage « rapide » (la courbe inférieure), et on descend lire la vitesse correspondante sur l'axe des abscisses. Cette maîtrise de la réciprocité de la lecture de fonction est un pilier de l'épreuve de mathématiques.

Interprétation des données et prise de décision

La seconde partie de l'exercice demande une capacité de synthèse entre un graphique, un tableau de données et un schéma spatial (le plan des sorties de l'aéroport).

À la question 2.a, l'avion atterrit à 260 $km.h^{-1}$ en mode « confort ». Par lecture graphique, on détermine la distance nécessaire à l'arrêt complet. Une fois cette valeur obtenue, il faut la comparer aux distances des quatre sorties proposées dans le tableau (900 m, 1450 m, 2050 m et 2950 m). Si la distance de freinage est supérieure à la distance d'une sortie, cela signifie que l'avion aura déjà dépassé cette sortie au moment de son arrêt total. C'est ici que la recherche d'informations devient cruciale : l'élève doit extraire les bonnes valeurs numériques pour justifier sa réponse.

Calcul de vitesse maximale et sécurité

La question 2.b introduit une contrainte de sécurité : seule la sortie 1 (située à 900 m) est disponible. Le pilote opte pour un freinage « rapide ». L'élève doit déterminer la vitesse maximale autorisée. Sur le graphique, on repère 900 m en ordonnée, on croise la courbe « rapide », et on trouve la vitesse limite. C'est un exercice de modélisation classique où le graphique sert d'outil d'aide à la décision. Dans une rédaction de type Brevet, il est impératif de mentionner que l'on utilise la courbe correspondant au mode « rapide » pour ne pas perdre de points de rigueur.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. Confusion de courbes : L'erreur la plus fréquente consiste à inverser la courbe « confort » et la courbe « rapide ». Rappelez-vous que pour une même vitesse, le freinage rapide donne toujours une distance plus courte (la courbe est donc plus basse).

2. Unités et échelles : Attention aux graduations. Sur l'axe des abscisses, un petit carreau peut représenter 10 ou 20 unités. Vérifiez toujours l'échelle avant de lire une valeur. Ici, $Dx=20$ et $Dy=500$.

3. Oubli de l'unité : Une vitesse s'exprime en $km.h^{-1}$ et une distance en mètres. Une réponse sans unité est systématiquement sanctionnée par les correcteurs.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour chaque question, utilisez des phrases d'introduction claires : « Par lecture graphique, nous pouvons estimer que... ». Même si l'énoncé précise « sans justification », il est conseillé de laisser les traits de construction (pointillés) sur le graphique pour montrer au correcteur votre démarche. Cela valorise votre copie et prouve que vous n'avez pas deviné la réponse. Enfin, assurez-vous de bien faire le lien entre le résultat graphique et la question posée (ex: conclure par le numéro de la sortie dépassée).

Conclusion sur l'exercice de cinématique

Cet exercice illustre parfaitement comment les mathématiques permettent de résoudre des problématiques de transport et de sécurité. Entre fonctions non linéaires et lecture de données multidimensionnelles, c'est un excellent test de préparation pour le Brevet. La maîtrise de la lecture d'un repère est une compétence qui vous servira non seulement en mathématiques, mais aussi en physique-chimie et en SVT tout au long de votre scolarité au lycée.