Introduction aux notions de fonctions et de grandeurs

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges de la session 2016 (Métropole) constitue une excellente préparation pour les élèves de Troisième. Il mobilise trois compétences majeures du programme de mathématiques : la lecture de graphiques représentant des fonctions, la manipulation de durées et le calcul avec des grandeurs composées via l'utilisation d'une formule littérale. Dans cet énoncé, la hauteur d'eau est modélisée par une courbe, ce qui permet d'aborder la notion de fonction $f(t) = h$ de manière concrète. On y étudie l'évolution de la marée à Brest, un cas pratique permettant de comprendre l'utilité des mathématiques dans la vie quotidienne et les sciences naturelles.

Analyse Méthodique de la Lecture Graphique (Question 1)

La première partie de l'exercice demande une lecture attentive d'un graphique cartésien. Ici, l'axe des abscisses (horizontal) représente le temps en heures, tandis que l'axe des ordonnées (vertical) indique la hauteur d'eau en mètres.

1.a. Lecture de l'image d'une valeur

Pour trouver la hauteur d'eau à 6 heures, l'élève doit repérer la graduation 6 sur l'axe des abscisses. En remontant verticalement jusqu'à la courbe bleue, on cherche le point d'intersection. En projetant ce point sur l'axe des ordonnées, on observe une valeur située entre 7 et 8. Selon la précision du tracé LaTeX \begin{pspicture}, on peut estimer que $h(6) \approx 7,05$ mètres. Il est crucial pour l'élève de ne pas confondre les axes : l'heure est toujours la variable d'entrée (l'antécédent).

1.b. Résolution graphique d'une inéquation et calcul de durée

La question portant sur la durée pendant laquelle la hauteur est supérieure à 3 mètres entre 10h et 22h est plus complexe. Elle demande de résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) > 3$.
1. On trace mentalement une ligne horizontale à l'ordonnée $y = 3$.
2. On repère les points où la courbe passe au-dessus de cette ligne dans l'intervalle $[10 ; 22]$.
3. On observe que la courbe repasse au-dessus de 3m aux alentours de 14h et y reste jusqu'à environ 22h.
4. La durée se calcule par la différence : $22 - 14 = 8$ heures.
Attention : il faut être vigilant sur l'intervalle imposé par l'énoncé. Si la courbe était au-dessus de 3m avant 10h, cette partie ne doit pas être comptabilisée.

Analyse de l'utilisation d'une formule littérale (Question 2)

La seconde partie de l'exercice introduit une formule de calcul du coefficient de marée $C$. C'est une application directe du calcul littéral et de la priorité des opérations.
La formule donnée est : $C = \dfrac{H - N_0}{U} \times 100$.
Ici, les paramètres fixes sont $N_0 = 4,2$ (niveau moyen) et $U = 3,1$ (unité de hauteur). On nous donne $H = 7,4$ m pour l'après-midi du 26 octobre 2015.

Étape de calcul pas à pas

1. Soustraction au numérateur : On calcule d'abord l'écart entre la hauteur maximale et le niveau moyen : $7,4 - 4,2 = 3,2$.
2. Division par l'unité de hauteur : On divise ce résultat par $U$ : $3,2 / 3,1 \approx 1,032258$.
3. Multiplication par 100 : On obtient environ $103,2258$.
4. Arrondi : L'énoncé précise un arrondi à l'entier le plus proche. Le chiffre des dixièmes étant 2 (inférieur à 5), on arrondit à l'unité inférieure : $C = 103$.

Les Pièges à éviter au Brevet

De nombreux élèves perdent des points sur des détails techniques.
Erreur d'unité : Ne confondez pas les graduations. Sur ce graphique, un carreau en abscisse représente 2 heures (0, 2, 4...). Si l'on vous demande 1h, il faut se placer au milieu du premier carreau.
Erreur de lecture : Ne confondez pas "Hauteur d'eau à telle heure" (lecture d'ordonnée) et "À quelle heure la hauteur est de..." (lecture d'abscisse).
Priorités opératoires : Dans la formule du coefficient $C$, n'oubliez pas que le trait de fraction agit comme des parenthèses. Il faut calculer $H - N_0$ avant de diviser par $U$. Si vous tapez tout d'un coup sur votre calculatrice sans parenthèses, le résultat sera faux.

Conseils de Rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points :
1. Précisez systématiquement la méthode : "Par lecture graphique..." ou "D'après le graphique...".
2. Pour le calcul du coefficient, écrivez la formule brute avant de remplacer les lettres par les chiffres.
3. Soignez vos phrases de conclusion : "Le coefficient de marée est d'environ 103".
4. Vérifiez la cohérence de vos résultats. Un coefficient de marée en France est généralement compris entre 20 et 120. Si vous trouvez 1500, c'est qu'il y a une erreur de virgule ou de priorité.