Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2016 (Métropole) est une mise en situation concrète qui mobilise deux piliers du programme de 3ème : la mise en équation d'un problème de la vie courante et le calcul d'aires de figures usuelles (disque et carré). Cet exercice est particulièrement intéressant car il demande aux élèves de transformer un énoncé narratif en un modèle mathématique exploitable, une compétence clé évaluée par le jury. Nous allons explorer comment décomposer ce problème pour maximiser vos points le jour J.

Analyse de la Question 1 : La Modélisation par l'Équation

La première question nous demande de trouver le prix de deux types de pizzas. C'est un problème classique de 'calcul littéral' appliqué au quotidien. Pour réussir cette partie, le raisonnement doit être structuré en trois étapes : le choix de l'inconnue, la mise en équation et la résolution.

Commençons par définir les variables. Soit $x$ le prix en euros d'une pizza ronde. L'énoncé nous indique que la pizza carrée coûte 1€ de plus, son prix est donc représenté par l'expression $(x + 1)$. Pierre achète une pizza de chaque sorte pour un total de 14,20€. L'équation s'écrit donc naturellement : $x + (x + 1) = 14,20$. En simplifiant, nous obtenons $2x + 1 = 14,20$, puis $2x = 13,20$. En divisant par 2, on trouve $x = 6,60$. On en déduit que la pizza ronde coûte 6,60€ et la pizza carrée 7,60€. N'oubliez jamais de vérifier votre résultat : $6,60 + 7,60$ font bien 14,20€. Cette vérification est essentielle pour s'assurer qu'aucune erreur d'inattention n'a été commise lors des manipulations algébriques.

Analyse de la Question 2 : Géométrie et Comparaison d'Aires

La seconde partie de l'exercice déplace le curseur vers la géométrie plane. L'objectif est de comparer la taille des parts de pizza. Pour cela, il ne faut pas comparer les périmètres, mais bien les aires totales divisées par le nombre de parts. C'est ici que les formules de géométrie de 3ème doivent être parfaitement maîtrisées.

Pour la pizza ronde, le diamètre est de 34 cm, ce qui signifie que le rayon $r$ est de 17 cm. La formule de l'aire d'un disque est $\pi \times r^2$. En remplaçant par les valeurs, on obtient : $\pi \times 17^2 = 289\pi \approx 907,92$ cm². Cette pizza étant coupée en 8 parts, l'aire d'une part est d'environ $907,92 / 8 \approx 113,49$ cm².

Pour la pizza carrée, le côté est de 34 cm. L'aire d'un carré se calcule avec la formule $côté \times côté$. On a donc $34 \times 34 = 1156$ cm². Cette pizza est découpée en 9 parts, l'aire d'une part est donc de $1156 / 9 \approx 128,44$ cm². En comparant les deux résultats ($113,49 < 128,44$), on conclut mathématiquement que les parts de la pizza carrée sont les plus grandes. L'erreur classique ici serait de se laisser influencer par le nombre de parts (9 contre 8) en pensant que plus il y a de parts, plus elles sont petites, sans tenir compte de la surface totale de départ.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Plusieurs pièges jalonnent cet exercice. Le premier concerne la confusion entre diamètre et rayon pour le calcul de l'aire du disque. Utiliser 34 cm au lieu de 17 cm dans la formule $\pi r^2$ fausserait totalement le résultat final. Le deuxième piège réside dans l'arrondi. Il est conseillé de garder les valeurs exactes (avec $\pi$) le plus longtemps possible ou d'utiliser une précision suffisante (deux chiffres après la virgule) pour ne pas fausser la comparaison finale. Enfin, veillez à bien répondre à la question posée : l'énoncé demande 'dans quelle pizza', la conclusion doit donc être une phrase claire et non juste un chiffre souligné.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir la totalité des points, le correcteur attend une rédaction rigoureuse. Utilisez des connecteurs logiques tels que 'Soit $x$ le prix...', 'On sait que...', 'D'après la formule de l'aire...'. Chaque calcul doit être précédé d'une explication de ce qu'il représente. Par exemple, au lieu d'écrire directement '1156 / 9', écrivez : 'Calculons maintenant l'aire d'une part de pizza carrée en divisant l'aire totale par 9'. Une copie aérée et structurée montre au correcteur que votre raisonnement est limpide, ce qui est souvent valorisé dans les barèmes de correction du Brevet des collèges.