Introduction à l'Arithmétique et aux Problèmes de Pavage

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques au collège, particulièrement au niveau 3ème. Elle traite des propriétés des nombres entiers, des diviseurs, des multiples et de la notion de nombres premiers. Dans cet exercice issu du Brevet des collèges 2016 (Zone Amérique du Sud), nous abordons une application concrète : le pavage d'une surface rectangulaire sans découpe. Ce type de problème repose sur une compréhension fine de la divisibilité. Carole souhaite recouvrir un mur de $108$~cm par $225$~cm avec des carreaux carrés. Pour qu'il n'y ait aucune découpe, la longueur du côté du carré doit impérativement être un diviseur commun aux deux dimensions du rectangle.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Critères de Divisibilité

La première question nous demande si Carole peut utiliser des carreaux de $3$~cm ou de $6$~cm de côté. Pour répondre, il faut tester si $3$ et $6$ sont des diviseurs de $108$ et de $225$.

Pour les carreaux de $3$~cm : Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par $3$. Vérifions pour nos deux dimensions :
- Pour $108$ : $1 + 0 + 8 = 9$. Comme $9$ est dans la table de $3$, $108$ est divisible par $3$ ($108 = 3 \times 36$).
- Pour $225$ : $2 + 2 + 5 = 9$. De même, $225$ est divisible par $3$ ($225 = 3 \times 75$).
Puisque $3$ divise à la fois la longueur et la largeur, Carole peut utiliser des carreaux de $3$~cm.

Pour les carreaux de $6$~cm : Un nombre est divisible par $6$ s'il est divisible à la fois par $2$ et par $3$.
- $108$ est pair, donc il est divisible par $2$. Comme il est aussi divisible par $3$, il est divisible par $6$.
- $225$ est un nombre impair (il se termine par $5$). Il n'est donc pas divisible par $2$.
Par conséquent, $225$ ne peut pas être divisé par $6$. Carole ne peut donc pas utiliser des carreaux de $6$~cm sans faire de découpes sur la longueur du mur.

Analyse de la Question 2 : Recherche de la Dimension Maximale (PGCD)

La question demande la dimension maximale des carreaux. En mathématiques, chercher le plus grand diviseur commun à deux nombres revient à calculer leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). Nous cherchons $PGCD(225 ; 108)$.

Utilisons l'algorithme d'Euclide, qui est la méthode la plus efficace pour le Brevet :
1. $225 = 2 \times 108 + 9$ (Le reste est $9$)
2. $108 = 12 \times 9 + 0$ (Le reste est $0$)
Le dernier reste non nul est $9$. Donc, $PGCD(225 ; 108) = 9$.

La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est donc de $9$~cm de côté. Cette valeur assure que le nombre de carreaux sur la largeur ($108 / 9 = 12$) et sur la longueur ($225 / 9 = 25$) soit un nombre entier, évitant ainsi toute découpe de faïence.

Calcul du Nombre Total de Carreaux

Une fois la dimension de $9$~cm trouvée, il faut déterminer la quantité de carreaux nécessaire. Il existe deux méthodes pédagogiques pour cela :
Méthode 1 (Par les côtés) : On calcule combien de carreaux on place sur la largeur ($108 \div 9 = 12$) et combien sur la longueur ($225 \div 9 = 25$). Le total est le produit des deux : $12 \times 25 = 300$.
Méthode 2 (Par les aires) : On calcule l'aire totale du mur ($108 \times 225 = 24\,300$~cm²) et on la divise par l'aire d'un seul carreau ($9 \times 9 = 81$~cm²). On obtient $24\,300 \div 81 = 300$. Carole utilisera donc $300$ carreaux.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le piège le plus fréquent dans cet exercice est d'oublier de vérifier la divisibilité sur les deux dimensions. Un nombre peut diviser la largeur mais pas la longueur ! Un autre piège concerne les unités : assurez-vous que toutes les valeurs sont en centimètres avant de commencer vos calculs. Enfin, ne confondez pas le PGCD avec le PPCM (Plus Petit Commun Multiple), ce dernier servant plutôt à trouver une période commune dans des problèmes d'engrenages ou de fréquences de passage.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement les critères de divisibilité utilisés (somme des chiffres pour $3$).
2. Nommez la méthode utilisée pour le PGCD : "D'après l'algorithme d'Euclide..." ou "En utilisant les décompositions en produits de facteurs premiers...".
3. Concluez toujours par une phrase réponse claire reprenant les unités de l'énoncé ($cm$ ou $carreaux$). La justification est souvent plus importante que le résultat numérique lui-même aux yeux du correcteur.