Introduction aux notions de Géométrie spatiale

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2015 (Zone Amérique du Sud), constitue un support de révision idéal pour les élèves de 3ème. Il combine trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques : le calcul de volumes (la boule), les propriétés d'agrandissement et de réduction, ainsi que l'application géométrique du théorème de Pythagore dans l'espace. La thématique du bonhomme de neige permet de contextualiser des objets mathématiques abstraits (les sphères) dans une situation concrète. L'objectif est double : valider la maîtrise des formules de base et démontrer une capacité à raisonner sur des coupes planes (sections de solides).

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Étude des volumes et rapports d'agrandissement

La première partie de l'exercice porte sur la boule représentant la tête. Pour vérifier que le volume est bien $36\pi$~cm$^3$, l'élève doit mobiliser la formule du volume d'une boule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$. En remplaçant $R$ par 3 cm, le calcul devient $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 27$. En simplifiant $27$ par $3$, on obtient $4 \times \pi \times 9 = 36\pi$. Cette question est dite 'de vérification' : elle sert à mettre l'élève en confiance.

La question suivante introduit la notion d'agrandissement-réduction. Le rayon du corps est deux fois plus grand que celui de la tête. Ici, le coefficient d'agrandissement est $k = 2$. Il est crucial de se rappeler la règle d'or : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ainsi, le volume de la boule pour le corps n'est pas simplement le double du premier, mais il est multiplié par $2^3$ (soit 8). Le calcul du volume exact est donc : $36\pi \times 8 = 288\pi$~cm$^3$. Cette étape teste la compréhension profonde des propriétés de proportionnalité dans l'espace.

2. Section d'une sphère et application de Pythagore

La seconde partie est plus technique car elle nécessite une visualisation en 3D. On coupe la boule de la tête par un plan situé à 2 cm de son centre. La section d'une boule par un plan est toujours un cercle. Pour calculer l'aire de ce cercle d'assemblage, nous devons d'abord déterminer son rayon $r$.

Dans le triangle rectangle formé par le centre de la boule, le centre du cercle de section et un point sur le bord de ce cercle, nous appliquons le théorème de Pythagore. L'hypoténuse est le rayon de la boule ($R = 3$), un côté est la distance entre le centre et le plan ($d = 2$), et le troisième côté est le rayon de la section $r$ que nous cherchons. L'équation s'écrit : $r^2 + 2^2 = 3^2$, soit $r^2 + 4 = 9$. On en déduit que $r^2 = 5$.

L'aire de la surface d'assemblage est donnée par la formule de l'aire d'un disque : $A = \pi \times r^2$. Comme nous savons que $r^2 = 5$, l'aire exacte est $5\pi$~cm$^2$. L'exercice demande un arrondi au cm$^2$ : $5 \times 3,14159... \approx 15,7$. L'arrondi correct est donc 16~cm$^2$.

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

Le premier piège classique concerne les puissances lors des agrandissements. Beaucoup d'élèves font l'erreur de multiplier le volume par le coefficient $k$ au lieu de $k^3$. Rappelez-vous : Volume $\rightarrow$ 3D $\rightarrow$ exposant 3. Le second piège réside dans le calcul de la section. Il ne faut pas confondre le rayon de la boule (3 cm) avec le rayon du cercle de section. Le schéma mental (ou au brouillon) est indispensable pour identifier le triangle rectangle. Enfin, attention aux unités : le volume est en cm$^3$ et l'aire en cm$^2$. Un oubli ou une confusion peut coûter des points précieux en rédaction.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir la note maximale, ne vous contentez pas de jeter les chiffres sur la copie. Commencez par citer la formule utilisée (ex: 'On sait que le volume d'une boule est...'). Pour l'utilisation de Pythagore, précisez bien dans quel triangle vous travaillez et pourquoi il est rectangle (le plan de coupe est perpendiculaire au rayon passant par le centre de la section). Pour l'arrondi, montrez la valeur intermédiaire (environ 15,7) avant de donner le résultat final (16) pour prouver au correcteur que vous avez compris la règle de l'arrondi au supérieur.