Introduction aux notions de Volumes et de Grandeurs Composées

L'exercice 6 du Brevet des collèges 2015 (Zone Étrangers) est un cas d'école particulièrement complet. Il ne se contente pas de tester vos connaissances théoriques sur la géométrie dans l'espace ; il vous projette dans une situation concrète : le dosage pharmaceutique. Cet exercice mobilise deux compétences majeures du programme de troisième : le calcul de volumes de solides usuels (cylindre et sphère) et l'utilisation des grandeurs composées (masse volumique).

Maîtriser ces notions est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques, car elles apparaissent dans près de 40% des sujets de brevet sous différentes formes. L'enjeu ici est double : savoir décomposer un objet complexe en formes simples et manipuler des unités de mesure avec précision.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Identification du calibre : Savoir lire un schéma géométrique

La première question demande d'identifier le calibre de la gélule. Pour y répondre, il ne suffit pas de regarder le tableau, il faut comprendre ce que représente la longueur $L$ sur le schéma. La gélule est composée d'un cylindre central de hauteur $h = 16,6$ mm et de deux demi-sphères à chaque extrémité. Or, deux demi-sphères de même diamètre forment une sphère complète. La longueur totale $L$ correspond donc à la hauteur du cylindre additionnée au diamètre des demi-sphères.

Le raisonnement est le suivant : $L = 16,6 \text{ mm} + 9,5 \text{ mm} = 26,1 \text{ mm}$. En se référant au tableau fourni dans l'énoncé, on constate que la longueur de 26,1 mm correspond exactement au calibre 000. C'est un point facile si l'on prend le temps de bien analyser le croquis sans se précipiter sur les chiffres.

2. Calcul du volume total : La rigueur des formules

Le calcul du volume est l'étape la plus technique. La gélule est un solide composé. Pour trouver son volume total, on additionne le volume du cylindre et le volume de la sphère reconstituée.

Le Cylindre : La formule est $V_{cylindre} = \pi \times R^2 \times h$. Attention, l'erreur classique est d'utiliser le diamètre. Le rayon $R$ est la moitié du diamètre, soit $9,5 / 2 = 4,75$ mm. On a donc $V_{cylindre} = \pi \times 4,75^2 \times 16,6 \approx 1177,3$ mm³.

La Sphère : La formule est $V_{sphère} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$. En utilisant le même rayon $R = 4,75$ mm, on obtient $V_{sphère} = \frac{4}{3} \times \pi \times 4,75^3 \approx 448,9$ mm³.

Le Total : En additionnant les deux, on obtient environ $1626$ mm³. N'oubliez pas l'arrondi au mm³ demandé par l'énoncé. Une précision : gardez la valeur exacte avec $\pi$ sur votre calculatrice jusqu'à l'étape finale pour éviter les erreurs d'arrondi cumulées.

3. Masse volumique et traitement : Les grandeurs composées

La dernière question introduit la notion de masse volumique, notée souvent $\rho$ (rho). C'est une grandeur composée définie par la relation $Masse = Volume \times Masse\ Volumique$. Ici, on nous donne la masse volumique d'une gélule : $6,15 \times 10^{-4}$ g/mm³.

L'analyse doit se faire en plusieurs étapes :

• Calculer la masse d'une seule gélule : $1626 \times 6,15 \times 10^{-4} \approx 0,99999$ g (soit environ 1 g).
• Déterminer le nombre total de gélules : Le traitement contient 3 plaquettes de 6 gélules, soit $3 \times 6 = 18$ gélules au total.
• Calculer la masse totale absorbée : $18 \times 1 = 18$ grammes.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Le premier piège est la confusion entre rayon et diamètre. Dans toutes les formules de volume (sphère, cylindre, cône), c'est le rayon qui intervient. Divisez toujours le diamètre par deux avant de commencer vos calculs.

Le second piège concerne les unités. Ici, tout est en millimètres et en grammes, ce qui simplifie le travail. Mais si l'énoncé avait donné la masse volumique en kg/m³, une conversion complexe aurait été nécessaire. Restez vigilant !

Enfin, la notation scientifique ($10^{-4}$) peut effrayer certains élèves. Rappelez-vous que multiplier par $10^{-4}$ revient à décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche. Utilisez votre calculatrice pour sécuriser le résultat.

Conseils de Rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points, votre correcteur attend une structure claire :

1. Annoncez la formule que vous allez utiliser (ex: "On sait que le volume d'une sphère est...").
2. Détaillez le calcul numérique avec les valeurs de l'énoncé.
3. Concluez par une phrase répondant précisément à la question, sans oublier l'unité ($mm^3$, $g$, etc.).
4. Soignez les arrondis : si on demande l'unité, ne donnez pas trois décimales.