Introduction aux notions de grandeurs composées

Cet exercice du Brevet des Collèges 2015 (Sujet Métropole) est un cas d'étude complet sur les grandeurs composées, mêlant la proportionnalité, les vitesses moyennes et la gestion des durées. La thématique du "radar tronçon" est un classique de l'épreuve de mathématiques de 3ème car elle sollicite une compétence fondamentale : la prise d'initiatives. Contrairement à un exercice d'application directe, l'élève doit ici extraire des informations de plusieurs documents (règlementation, données techniques, cas pratiques) pour construire son raisonnement. Les notions abordées sont cruciales pour le socle commun : savoir manipuler la formule $v = \frac{d}{t}$, convertir des unités de temps (minutes et secondes en heures décimales) et appliquer des pourcentages de réduction.

Analyse Méthodique : Comprendre le fonctionnement du radar

Le document 1 et le document 2 posent le cadre législatif et technique. Il est impératif de bien distinguer la vitesse moyenne calculée de la vitesse retenue. La loi prévoit une marge d'erreur technique. Pour une vitesse enregistrée sous les $100$ km/h, on retire une valeur fixe ($5$ km/h). Au-delà de $100$ km/h, on applique une réduction proportionnelle de $5\%$. Cette distinction est le premier point de vigilance de l'exercice. Un oubli ici fausserait l'intégralité des conclusions.

Résolution du Cas 1 : Madame Surget

Pour Madame Surget, la vitesse moyenne enregistrée est de $107$ km/h. Cette valeur étant supérieure à $100$ km/h, le document 2 nous impose de diminuer cette vitesse de $5\%$. Mathématiquement, diminuer une valeur de $5\%$ revient à la multiplier par son coefficient multiplicateur associé : $1 - \frac{5}{100} = 0,95$. Le calcul est donc : $107 \times 0,95 = 101,65$ km/h. La vitesse retenue est donc de $101,65$ km/h.

Résolution du Cas 2 : Monsieur Lagarde

Monsieur Lagarde nécessite une étape de calcul préliminaire. On connaît la distance $d = 3,2$ km et le temps $t = 2$ minutes. Pour utiliser la formule de la vitesse en km/h, il faut exprimer le temps en heures. Comme $1$ heure contient $60$ minutes, $2$ minutes correspondent à $\frac{2}{60}$ d'heure, soit $\frac{1}{30}$ h. En utilisant $v = \frac{d}{t}$, on obtient $v = 3,2 \div \frac{1}{30} = 3,2 \times 30 = 96$ km/h. La vitesse moyenne étant inférieure à $100$ km/h, on retire $5$ km/h selon le document 2. La vitesse retenue est donc $96 - 5 = 91$ km/h.

Résolution du Cas 3 : Monsieur Durand (Prise d'initiative)

C'est ici que l'élève doit faire preuve d'autonomie. On nous donne les heures de passage : $13$ h $46$ min $54$ s et $13$ h $48$ min $41$ s. Calculons la durée du trajet : de $46$ min $54$ s à $47$ min $00$ s, il s'écoule $6$ s. De $47$ min $00$ s à $48$ min $00$ s, il s'écoule $1$ min (soit $60$ s). De $48$ min $00$ s à $48$ min $41$ s, il s'écoule $41$ s. La durée totale est $6 + 60 + 41 = 107$ secondes. La distance est de $3,2$ km, soit $3200$ mètres. Sa vitesse est de $v = \frac{3200}{107} \approx 29,906$ m/s. Pour convertir en km/h, on multiplie par $3,6$ : $29,906 \times 3,6 \approx 107,66$ km/h. Puisqu'il dépasse $100$ km/h, on applique la réduction de $5\%$ : $107,66 \times 0,95 \approx 102,28$ km/h. La limite étant de $90$ km/h sur le pont d'Oléron, Monsieur Durand reçoit effectivement une contravention.

Les Pièges à éviter

Le piège principal réside dans la conversion des durées. Beaucoup d'élèves font l'erreur d'écrire que $1$ minute $47$ secondes est égal à $1,47$ minute, ce qui est faux (le temps n'est pas en base 10 mais en base 60). Il faut toujours repasser par les secondes ou utiliser la touche 'degrés-minutes-secondes' de la calculatrice. Un autre piège est l'oubli de la soustraction de la marge technique (les $5$ km/h ou $5\%$) avant de comparer à la limite autorisée de $90$ km/h.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points : 1. Citez systématiquement la formule utilisée ($v = d/t$). 2. Détaillez vos conversions d'unités de manière explicite. 3. Faites une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée (ex: 'Oui, Monsieur Durand aura une contravention car sa vitesse retenue de $102,28$ km/h est supérieure à la limite de $90$ km/h'). La clarté du raisonnement est aussi importante que le résultat numérique final.