Introduction aux configurations de Thalès dans l'espace
L'exercice 9 du Brevet de Nouvelle-Calédonie 2015 est un cas d'école extrêmement classique mais redoutable pour les élèves distraits. Il traite de la thématique de l'ombre portée, une application concrète du théorème de Thalès. En mathématiques, la projection d'une ombre par une source lumineuse ponctuelle (ici le point C) crée une configuration de triangles semblables, plus précisément une configuration de Thalès dite « en papillon » ou « emboîtée ». L'objectif est de mobiliser deux compétences majeures du programme de 3ème : la démonstration du parallélisme et le calcul de proportions dans un triangle. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer une maîtrise parfaite des outils de géométrie plane indispensables pour réussir l'épreuve de mathématiques.
Analyse Méthodique : Question 1 - Démontrer le parallélisme
La première question demande de démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Dans un sujet de Brevet, lorsqu'on vous demande de démontrer que deux droites sont parallèles, vous avez généralement deux options : la réciproque du théorème de Thalès ou les propriétés des droites perpendiculaires à une même troisième. Ici, l'observation du schéma est cruciale. On remarque la présence de symboles d'angles droits (codage de la figure) aux points B et E. Les segments [AB] et [DE] représentent respectivement la toile et la marionnette, toutes deux supposées verticales, alors que le sol ou l'axe optique (BC) est horizontal.
Le raisonnement doit être structuré ainsi : on sait que la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC) (angle droit en B). On sait également que la droite (DE) est perpendiculaire à la même droite (BC) (angle droit en E). Or, une propriété fondamentale de la géométrie euclidienne vue en 6ème et 5ème énonce que : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.' Par conséquent, on en déduit immédiatement que (AB) // (DE). Cette étape est le préalable indispensable pour pouvoir utiliser le théorème de Thalès à la question suivante. Sans parallélisme, pas de Thalès !
Analyse Méthodique : Question 2 - Calculer la distance EC
La seconde question nous plonge dans le calcul pur. Le marionnettiste veut savoir où placer sa marionnette pour que son ombre fasse 1,2 m. Nous sommes en présence de deux triangles, CDE et CAB, qui partagent un sommet commun C et dont les bases [DE] et [AB] sont parallèles. C'est la configuration type du théorème de Thalès.
Avant tout calcul, un œil expert remarque un piège classique : l'hétérogénéité des unités. La marionnette mesure $30 \text{ cm}$ tandis que l'ombre et la distance à la toile sont en mètres ($1,2 \text{ m}$ et $8 \text{ m}$). Il est impératif de tout convertir dans la même unité. Utilisons le mètre : $30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m}$.
Ensuite, on applique le théorème : dans les triangles CDE et CAB, les points C, E, B sont alignés, ainsi que les points C, D, A. Les droites (DE) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants : $CE / CB = CD / CA = DE / AB$. Nous connaissons $CB = 8 \text{ m}$, $DE = 0,3 \text{ m}$ et $AB = 1,2 \text{ m}$. Nous cherchons $CE$. L'égalité devient : $CE / 8 = 0,3 / 1,2$. Par un simple produit en croix, on obtient $CE = (8 \times 0,3) / 1,2$. Le calcul donne $2,4 / 1,2 = 2$. La marionnette doit donc être placée à $2 \text{ m}$ de la source de lumière C.
Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve
Le premier piège, comme mentionné, est l'unité. De nombreux élèves effectuent le calcul $(8 \times 30) / 1,2$, ce qui donne un résultat incohérent. Toujours vérifier la cohérence physique : la marionnette doit être plus proche de la lumière que l'écran pour projeter une ombre plus grande qu'elle-même. Le deuxième piège réside dans l'identification des côtés. Ne confondez pas la distance marionnette-écran (EB) avec la distance marionnette-lumière (EC). Le théorème de Thalès travaille toujours à partir du sommet commun, ici le point C.
Conseil de Rédaction pour Maximiser vos Points
Pour obtenir les 100% de points sur cet exercice : 1. Citez explicitement la propriété des droites perpendiculaires pour la question 1. 2. Vérifiez que vous avez bien mentionné l'alignement des points et le parallélisme avant d'écrire 'D'après le théorème de Thalès'. 3. Montrez votre conversion d'unité ($30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m}$) de manière visible. 4. Encadrez votre résultat final avec son unité. Les correcteurs apprécient la clarté et la rigueur logique autant que la justesse du calcul.