Introduction aux Fondamentaux de la Géométrie de Troisième

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2015 (Amérique du Sud) est un cas d'école parfait pour tout élève de 3ème souhaitant valider ses compétences en géométrie. Il s'agit d'un problème de situation concrète : la construction d'une charpente. Pour réussir cet exercice, il faut mobiliser trois piliers du programme de mathématiques : la trigonométrie dans le triangle rectangle, le théorème de Pythagore pour les calculs de longueurs d'hypoténuse, et le théorème de Thalès pour les rapports de proportionnalité dans les configurations de triangles emboîtés. L'énoncé souligne l'importance de la symétrie, un indice clé pour diviser les mesures de base par deux avant de commencer tout calcul.

Analyse de la Question 1 : La Trigonométrie au service de la Hauteur

La première étape demande de démontrer que la hauteur $CD$ est de 2,10 m. Le charpentier nous donne une base totale $AB = 9$ m. La symétrie par rapport à $[CD]$ implique que $D$ est le milieu de $[AB]$, donc $AD = 4,5$ m. Nous sommes dans le triangle $ADC$, rectangle en $D$. Nous connaissons l'angle $\widehat{CAD} = 25^{\circ}$ et le côté adjacent $AD = 4,5$ m. La recherche du côté opposé $CD$ nous oriente immédiatement vers la tangente. En utilisant la formule $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$, nous obtenons $\tan(25^{\circ}) = \frac{CD}{4,5}$. Par un produit en croix, $CD = 4,5 \times \tan(25^{\circ})$. Le calcul donne environ 2,098 m, ce qui, une fois arrondi au centimètre près, confirme bien les 2,10 m attendus. Astuce pédagogique : Toujours vérifier que votre calculatrice est en mode 'Degrés' avant de manipuler les fonctions cos, sin ou tan.

Analyse de la Question 2 : L'application du Théorème de Pythagore

Une fois $CD$ connu, on nous demande de calculer $AC$ via Pythagore. Le triangle $ADC$ étant rectangle en $D$, l'égalité de Pythagore s'écrit : $AC^2 = AD^2 + CD^2$. En remplaçant par les valeurs numériques, on a $AC^2 = 4,5^2 + 2,1^2$. Ce qui donne $AC^2 = 20,25 + 4,41 = 24,66$. Pour trouver $AC$, on calcule la racine carrée de 24,66, soit $\sqrt{24,66} \approx 4,9658...$. L'arrondi au centimètre (deux chiffres après la virgule) nous donne 4,97 m. Il est crucial ici de ne pas utiliser une valeur trop arrondie de $CD$ au milieu du calcul pour éviter les erreurs de précision cumulées, bien que l'énoncé nous guide ici vers un résultat précis.

Analyse de la Question 3 : La Configuration de Thalès

La question porte sur la longueur $DI$ avec l'indication que $(HI) \parallel (AC)$. Les points $D, H, A$ d'une part et $D, I, C$ d'autre part sont alignés. Nous sommes dans la configuration 'en triangle' de Thalès. Le théorème nous permet d'écrire l'égalité des rapports : $\frac{DH}{DA} = \frac{DI}{DC} = \frac{HI}{AC}$. L'énoncé nous permet de déduire $DH$. Sur le schéma, le segment $[AB]$ de 9 m est divisé en plusieurs segments marqués par des symboles de même longueur. En observant les points $A, H, E, D, F, G, B$, on voit que $AD$ est divisé en 3 parts égales ($AH=HE=ED$). Comme $AD = 4,5$ m, alors chaque petite part vaut $1,5$ m. Donc $DH = 1,5$ m. Le rapport de réduction est donc $\frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}$. En appliquant ce rapport à $DC$ ($2,1$ m), on trouve $DI = \frac{2,1}{3} = 0,7$ m. Note : Une relecture attentive du schéma est nécessaire pour identifier les rapports exacts.

Analyse de la Question 4 : Méthodes alternatives pour JD

Pour calculer $JD$, deux démarches sont possibles sans rédaction complète : 1. Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle $JED$ ou $JAD$ si l'on prouve les longueurs intermédiaires. 2. Utiliser la trigonométrie dans le triangle $JED$ ou via la symétrie. Une autre méthode élégante serait d'utiliser à nouveau Thalès dans le triangle $ADC$ avec la droite $(JD)$ si l'on peut justifier le parallélisme approprié ou l'utilisation des milieux. Expliquer la démarche consiste à nommer les outils (Thalès, Pythagore ou Trigonométrie) et à lister les segments nécessaires.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le principal piège de cet exercice réside dans la lecture du schéma. Il faut compter précisément le nombre d'intervalles égaux sur la poutre $[AB]$ pour ne pas se tromper dans les valeurs de Thalès. Pour la rédaction, n'oubliez jamais de citer les conditions d'application des théorèmes : 'Le triangle est rectangle en...' pour Pythagore et la Trigonométrie, et 'Les droites sont parallèles' pour Thalès. Sans ces phrases, vous risquez de perdre des points de rigueur même si votre résultat final est correct. Enfin, soignez vos arrondis : si on demande au centimètre, fournissez deux décimales après la virgule pour les mètres.