Introduction aux notions clés du Brevet 2015

Cet exercice issu du sujet de Mathématiques du Brevet 2015 (Métropole) constitue une synthèse parfaite des compétences géométriques attendues en fin de troisième. Il mobilise trois piliers fondamentaux du programme : le Théorème de Pythagore pour les calculs de longueurs dans un triangle rectangle, le Théorème de Thalès pour l'étude des configurations de proportionnalité avec des droites parallèles, et enfin le calcul d'Aires et périmètres.

Dans cet énoncé, nous évoluons dans un triangle JAB rectangle en A. La présence de droites parallèles $(MU)$ et $(AB)$ nous indique immédiatement qu'une configuration de Thalès est cachée dans la figure. L'objectif est de naviguer entre ces propriétés pour déduire des mesures précises et calculer la surface d'une portion spécifique de la figure : le triangle JCB.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de la longueur JB : L'automatisme Pythagore

La première question nous demande de calculer $JB$. Le triangle JAB est rectangle en A. C'est l'indice majeur pour appliquer le théorème de Pythagore. Pour réussir cette question, il faut identifier l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), qui est ici $[JB]$.

D'après le théorème de Pythagore : $JB^2 = JA^2 + AB^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies dans l'énoncé ($JA = 18$ m et $AB = 7,5$ m), on obtient $JB^2 = 18^2 + 7,5^2$. Le calcul donne $324 + 56,25 = 380,25$. La longueur $JB$ s'obtient par la racine carrée : $\sqrt{380,25} = 19,5$. N'oubliez jamais de vérifier la cohérence du résultat : l'hypoténuse doit être le plus grand côté du triangle.

2. Démontrer que AC = 5,4 m : La puissance de Thalès

Ici, nous devons prouver une valeur. Les points A, M, J sont alignés et C, U, J le sont également. Comme $(MU) \parallel (AB)$ et que C appartient au segment $[AB]$, alors $(MU)$ est aussi parallèle à $(AC)$. Nous sommes dans une configuration de Thalès de sommet commun J.

On applique le théorème dans le triangle JAC : $\frac{JM}{JA} = \frac{JU}{JC} = \frac{MU}{AC}$. Nous connaissons $JM = 10$, $JA = 18$ et $MU = 3$. L'égalité $\frac{10}{18} = \frac{3}{AC}$ nous permet d'utiliser le produit en croix : $AC = \frac{18 \times 3}{10} = \frac{54}{10} = 5,4$ m. La démonstration est fluide et repose sur la rigueur de la rédaction des conditions d'alignement et de parallélisme.

3. Calcul de l'aire du triangle JCB

Pour calculer l'aire d'un triangle, la formule est $\frac{base \times hauteur}{2}$. Dans le triangle JCB, la base peut être considérée comme le segment $[CB]$. Puisque A, C et B sont alignés, on trouve $CB$ en soustrayant $AC$ de $AB$ : $CB = 7,5 - 5,4 = 2,1$ m.

La hauteur associée à cette base est le segment $[JA]$, car le triangle JAB est rectangle en A, ce qui signifie que $(JA)$ est perpendiculaire à $(AB)$. Ainsi, l'aire est $\frac{CB \times JA}{2} = \frac{2,1 \times 18}{2} = 2,1 \times 9 = 18,9$ m². Il est crucial de ne pas se tromper de hauteur lors de cette étape.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points lors de l'examen :

• Confusion des théorèmes : Ne pas utiliser Thalès quand il n'y a pas de parallèles prouvées. Ici, l'énoncé est clair, mais vérifiez toujours vos hypothèses.
• Erreurs de calcul : L'utilisation de la calculatrice est autorisée, mais une erreur de saisie sur le carré de 7,5 est fréquente.
• Les unités : Toutes les données sont en mètres (m), l'aire doit donc impérativement être exprimée en mètres carrés (m²). L'oubli de l'unité est souvent pénalisé par les correcteurs.
• Rédaction incomplète : Citer le nom du théorème utilisé est obligatoire pour obtenir le maximum de points.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour séduire le correcteur, structurez votre réponse. Commencez par "Dans le triangle ..., rectangle en ...", puis énoncez le théorème. Présentez vos calculs de manière aérée et terminez par une phrase de conclusion soulignée. Une copie propre et bien structurée témoigne d'une pensée logique, ce qui est l'essence même des mathématiques au Brevet.