Introduction aux Probabilités au Brevet

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de classe de troisième (3ème). Cet exercice, issu du sujet du Brevet de Polynésie 2015, est une application directe du calcul de probabilités dans une expérience aléatoire simple : le tirage de jetons dans une urne (ou un sac). Comprendre cette notion est crucial pour l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB) car elle tombe quasiment chaque année sous une forme ou une autre. L'objectif ici est de manipuler des fréquences théoriques et de comprendre l'impact d'une modification de l'univers de l'expérience.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente une situation de jeu de société où Djamel et Sarah tirent des jetons au hasard. La phrase clé est : « Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. » En mathématiques, cela s'appelle une situation d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement se calcule simplement par le rapport : (Nombre de cas favorables) / (Nombre total de cas possibles).

Question 1.a : Calcul de la probabilité de tirer le nombre 18

Pour répondre à cette question, l'élève doit d'abord identifier l'univers de l'expérience, noté souvent $\Omega$. Ici, le sac contient huit jetons au total : $\{5, 14, 26, 18, 5, 9, 18, 20\}$. Le dénominateur de notre fraction sera donc 8. Ensuite, il faut dénombrer l'événement « tirer un jeton 18 ». En observant la liste, on constate que le nombre 18 apparaît deux fois. Il y a donc 2 cas favorables. La probabilité est alors de $\frac{2}{8}$. Il est fortement recommandé de simplifier cette fraction pour obtenir $\frac{1}{4}$, soit $0,25$ ou $25\%$.

Question 1.b : Multiples de 5

Un multiple de 5 est un nombre qui se termine par 0 ou 5 dans la table de multiplication de 5. Analysons les jetons disponibles : $\{5, 14, 26, 18, 5, 9, 18, 20\}$. Les jetons multiples de 5 sont : le premier « 5 », le deuxième « 5 » et le « 20 ». Il y a donc 3 jetons favorables. La probabilité que Sarah tire un multiple de 5 est de $\frac{3}{8}$, ce qui correspond à $0,375$ ou $37,5\%$. Expliquer ce raisonnement permet de montrer au correcteur que vous maîtrisez la définition arithmétique de « multiple ».

Question 2 : Modification de l'univers (Le piège classique)

C'est ici que l'analyse devient intéressante. Sarah a tiré le jeton « 26 » et elle le garde. Cela signifie que nous passons d'une expérience avec remise à une expérience sans remise. L'univers n'est plus de 8 jetons, mais de $8 - 1 = 7$ jetons. C'est le point de vigilance majeur. Le nombre de multiples de 5 dans le sac n'a pas changé puisque le jeton « 26 » n'en est pas un. Il reste donc toujours 3 jetons multiples de 5. Cependant, la nouvelle probabilité pour Djamel est de $\frac{3}{7}$. Comme $\frac{3}{7} \approx 0,428$, on constate que la probabilité n'est pas la même qu'à la question précédente ($\frac{3}{8} = 0,375$). La probabilité a augmenté car le nombre total de jetons a diminué.

Les Pièges à Éviter

1. Oublier de modifier le total : Beaucoup d'élèves oublient que si un jeton est retiré, le dénominateur change. C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet.
2. Confondre multiple et diviseur : Rappelez-vous que les multiples de 5 sont $5, 10, 15, 20...$ tandis que les diviseurs de 5 ne sont que $1$ et $5$.
3. Négliger la rédaction : Une réponse en probabilité doit toujours être justifiée par une phrase citant l'équiprobabilité ou montrant le calcul fractionnaire.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse ainsi :
- Commencez par une phrase d'introduction : « On est dans une situation d'équiprobabilité car les jetons ont la même chance d'être tirés. »
- Donnez la formule littérale : $P = \frac{\text{Cas favorables}}{\text{Cas possibles}}$.
- Effectuez le calcul et donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée, et si possible, sous forme décimale.
- Pour la question 2, précisez bien : « Puisque Sarah garde le jeton, il n'en reste plus que 7 dans le sac. »