Introduction aux Probabilités au Brevet
L'exercice 3 du sujet de Brevet Asie 2015 est un cas d'école concernant les probabilités discrètes dans un univers fini. Ce chapitre est un pilier de l'épreuve de mathématiques en 3ème, car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à dénombrer des issues, à manipuler des fractions et à faire le lien entre statistiques et probabilités. Dans cet énoncé, nous sommes confrontés à une situation de transport scolaire où les élèves sortent d'un bus de manière aléatoire, ce qui définit une expérience dont l'univers possède des issues équiprobables.
Analyse de la situation : Le Dénombrement Total
Avant de répondre à toute question de probabilité, la première étape indispensable pour un élève est de définir l'effectif total de la population étudiée. Ici, nous avons trois catégories de sportifs initialement présents dans le bus :\n- 10 joueurs de ping-pong\n- 12 coureurs de fond\n- 18 gymnastes.\nL'effectif total (N) est la somme de ces groupes : $10 + 12 + 18 = 40$. Cela signifie que l'univers de notre expérience aléatoire comporte 40 issues élémentaires. Chaque élève a la même chance de sortir du bus en premier, ce qui nous place dans une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement A est donc donnée par la formule fondamentale : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$.
Analyse de la Question 1 : Probabilité Simple
La première question nous demande la probabilité que le premier sortant soit un joueur de ping-pong. Ici, l'événement favorable est "sortir un joueur de ping-pong". Le nombre de cas favorables est de 10. Le nombre total de cas est de 40. La probabilité est donc $\frac{10}{40}$. Un élève de 3ème doit impérativement simplifier cette fraction. En divisant le numérateur et le dénominateur par 10, nous obtenons $\frac{1}{4}$, ce qui correspond à 0,25 ou 25%. Cette question ne présente pas de difficulté technique majeure, mais elle vérifie la compréhension du vocabulaire de base.
Analyse de la Question 2 : La Réunion d'Événements
La deuxième question porte sur la probabilité que le premier sportif soit un coureur OU un gymnaste. En probabilités, le "ou" correspond à la réunion de deux événements. Comme un élève ne peut pas être à la fois coureur de fond et gymnaste dans cet énoncé (événements disjoints), il suffit d'additionner les effectifs des deux catégories. \nEffectif cumulé : $12 + 18 = 30$. \nLa probabilité est donc $\frac{30}{40}$. Après simplification par 10, nous obtenons $\frac{3}{4}$, soit 0,75 ou 75%. Une autre méthode aurait consisté à calculer la probabilité complémentaire : $1 - P(\text{ping-pong}) = 1 - 0,25 = 0,75$.
Analyse de la Question 3 : Probabilités et Algèbre
C'est ici que l'exercice devient réellement discriminant. On nous indique qu'un groupe de nageurs monte dans le bus. On ne connaît pas leur nombre, appelons-le $x$. Le nouvel effectif total du bus devient donc $40 + x$. On sait que la probabilité qu'un nageur descende en premier est de $\frac{1}{5}$. \nEn utilisant la formule de probabilité, on peut écrire l'équation suivante : $\frac{x}{40 + x} = \frac{1}{5}$.\nPour résoudre cette équation, nous utilisons le produit en croix : $5 \times x = 1 \times (40 + x)$.\nCela nous donne : $5x = 40 + x$.\nEn isolant $x$, on obtient : $5x - x = 40$, soit $4x = 40$.\nFinalement, $x = \frac{40}{4} = 10$.\nIl y a donc 10 nageurs dans le bus. Cette question est excellente car elle force l'élève à sortir du cadre purement arithmétique pour entrer dans le cadre de la modélisation algébrique.
Les Pièges Classiques à Éviter
1. **Oublier de modifier le total** : L'erreur la plus fréquente en question 3 est de garder 40 comme dénominateur. Or, l'arrivée des nageurs change la taille de l'échantillon.\n2. **Ne pas simplifier les fractions** : Même si une probabilité peut s'écrire sous forme décimale, la forme fractionnaire simplifiée est la norme attendue au Brevet.\n3. **Confusion entre effectif et probabilité** : Ne confondez pas le nombre de personnes et la chance qu'elles sortent. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Conseils de Rédaction pour l'Épreuve
Pour obtenir le maximum de points, il est conseillé de bien nommer les événements. Par exemple : "Soit G l'événement : le premier sportif est un gymnaste". Présentez toujours votre calcul de l'effectif total avant de poser vos fractions. Pour la question avec l'inconnue, n'hésitez pas à introduire clairement votre variable : "Soit x le nombre de nageurs recherché". Une conclusion par une phrase claire et soulignée permet au correcteur de valider immédiatement votre raisonnement.