Introduction aux Fondamentaux du Brevet de Mathématiques

L'exercice 4 du Brevet des collèges de la session 2015 en Polynésie est une synthèse exemplaire des compétences attendues en fin de cycle 4. Cet exercice court mais dense permet d'évaluer trois piliers majeurs du programme de 3ème : la gestion des pourcentages dans un contexte commercial, la maîtrise des puissances (spécifiquement la base 2) et la rigueur du calcul littéral à travers les identités remarquables. Dans cet accompagnement pédagogique, nous allons décomposer chaque question pour comprendre non seulement le résultat, mais surtout la logique mathématique sous-jacente qui permet de maximiser ses points le jour de l'examen.

Analyse de la Question 1 : Le calcul du pourcentage de réduction

La première partie nous présente une situation de soldes. Nous avons un prix initial (ancien prix) de 80 € et un prix final (nouveau prix) de 60 €. L'objectif est de retrouver le pourcentage de réduction caché. Il existe deux méthodes principales pour résoudre ce problème de niveau 3ème.

Méthode 1 : Le calcul de la remise en valeur absolue. La première étape consiste à calculer le montant de la réduction en euros. En faisant la soustraction $80 - 60 = 20$, on constate que la remise est de 20 €. Pour transformer cette valeur en pourcentage, on établit le rapport entre la remise et le prix de départ : $20 / 80 = 0,25$. En multipliant par 100, on obtient 25 %. La tache cache donc le nombre 25.

Méthode 2 : Le coefficient multiplicateur. On peut aussi chercher par quel nombre multiplier 80 pour obtenir 60. L'équation est $80 \times k = 60$, d'où $k = 60 / 80 = 0,75$. Puisque le coefficient multiplicateur est de 0,75, la réduction est de $1 - 0,75 = 0,25$, soit 25 %. Cette méthode est particulièrement recommandée pour les élèves qui envisagent une orientation en classe de Seconde, car elle prépare aux fonctions linéaires et aux évolutions successives.

Analyse de la Question 2 : Les puissances de 2 et le raisonnement itératif

La question demande d'identifier à quelle puissance de 2 correspond le nombre 2048. C'est un classique des exercices sur les exposants. Pour un élève de 3ème, deux approches sont possibles. La première est l'utilisation méthodique de la calculatrice avec la touche puissance ($x^y$ ou $\hat{ }$). En testant $2^{10}$, on obtient 1024. Il est alors facile de voir que $2048$ est le double de $1024$, soit $1024 \times 2 = 2^{10} \times 2^1 = 2^{11}$.

La seconde approche est la décomposition en produit de facteurs premiers. On divise 2048 par 2 successivement : 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. En comptant les divisions, on arrive à 11. Cette notion est fondamentale non seulement en mathématiques mais aussi en informatique, où les puissances de 2 définissent les capacités de stockage et les architectures de processeurs. Il est donc crucial de mémoriser les premières puissances de 2 (jusqu'à $2^{10} = 1024$).

Analyse de la Question 3 : Calcul littéral et identités remarquables

La dernière question porte sur le développement de l'expression $(2x - 1)^2$. Jules propose comme résultat $4x^2 - 4x - 1$. Pour vérifier s'il a raison, il faut appliquer l'identité remarquable du type $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Dans notre cas, $a = 2x$ et $b = 1$. Développons étape par étape :
1. Le premier terme au carré : $(2x)^2 = 4x^2$.
2. Le double produit : $2 \times 2x \times 1 = 4x$.
3. Le second terme au carré : $1^2 = 1$.
L'expression développée est donc $4x^2 - 4x + 1$. En comparant avec la proposition de Jules, on remarque une erreur de signe sur le dernier terme (le terme constant). Jules a écrit $-1$ au lieu de $+1$. Jules a donc tort. Cette erreur est extrêmement fréquente : beaucoup d'élèves pensent que le carré d'un nombre négatif ou le terme $b^2$ dans une soustraction reste négatif, alors qu'un carré est toujours positif dans l'ensemble des réels.

Les Pièges Classiques à éviter lors du Brevet

Sur cet exercice, plusieurs erreurs de vigilance peuvent coûter des points :
1. Confusion sur la base du pourcentage : Ne faites jamais l'erreur de diviser la remise par le prix final (60 €). La référence est toujours le prix initial (80 €).
2. Oubli des parenthèses en calcul littéral : Lors du calcul de $(2x)^2$, si vous oubliez les parenthèses, vous pourriez écrire $2x^2$, ce qui est faux. Le carré s'applique au coefficient 2 ET à la variable x.
3. Erreur de signe : C'est le piège de la question 3. Rappelez-vous que $(-1)^2 = 1$. Le terme $b^2$ d'une identité remarquable est TOUJOURS précédé d'un signe plus.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour convaincre le correcteur, structurez vos réponses. Pour la question 1, écrivez explicitement le calcul de la différence puis le rapport. Pour la question 2, une simple phrase suffit : "En utilisant la calculatrice, on trouve que $2^{11} = 2048$". Pour la question 3, ne vous contentez pas de dire "Non", montrez le développement complet de l'identité remarquable pour prouver votre raisonnement. Une rédaction claire et espacée facilite la lecture et témoigne d'une pensée structurée.