Introduction à la Géométrie Plane au Brevet
La géométrie plane constitue un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015, se concentre sur des notions essentielles : la construction géométrique de précision, les propriétés des triangles inscrits dans un cercle et le calcul d'angles. Réviser ce type d'exercice permet de consolider ses bases sur le cercle circonscrit et la trigonométrie élémentaire, des compétences indispensables pour réussir l'épreuve finale du Brevet des Collèges.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice commence par une phase de construction qui nécessite l'usage rigoureux du matériel de géométrie (compas, règle graduée, et rapporteur). La précision est ici primordiale car elle permet souvent de vérifier visuellement la cohérence des calculs ultérieurs.
Étape 1 : Construction du Cercle et du Triangle
La première consigne demande de tracer un cercle de diamètre [AB] de 5,4 cm. Il est important de rappeler que pour tracer ce cercle, il faut d'abord identifier son centre O, qui se situe au milieu du segment [AB]. Le rayon du cercle est donc de $5,4 / 2 = 2,7$ cm. Ensuite, la construction du point D nécessite l'utilisation du rapporteur. L'angle $\widehat{\text{ABD}} = 37\text{°}$ doit être positionné avec le sommet en B, en alignant le zéro du rapporteur sur le segment [AB]. Le point D est l'intersection de la demi-droite créée par cet angle et la circonférence du cercle G.
Étape 2 : Nature du Triangle ABD
La question 3 est le cœur théorique de l'exercice. Elle interroge l'élève sur la nature du triangle ABD. Ici, le raisonnement doit s'appuyer sur une propriété classique : le triangle inscrit dans un demi-cercle. Puisque le segment [AB] est un diamètre du cercle G et que le point D appartient à ce même cercle, alors le triangle ABD est nécessairement rectangle en D.
Pour obtenir tous les points lors de la rédaction, il est impératif de citer correctement la propriété : "Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse."
Étape 3 : Calcul de la Mesure de l'Angle BAD
Une fois qu'il est établi que le triangle est rectangle en D, le calcul de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ devient une application directe de la règle de la somme des angles d'un triangle. Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.
Dans le triangle ABD rectangle en D, nous savons que :
1. $\widehat{\text{ADB}} = 90\text{°}$ (car le triangle est rectangle).
2. $\widehat{\text{ABD}} = 37\text{°}$ (donnée de l'énoncé).
L'angle manquant se calcule ainsi : $180\text{°} - (90\text{°} + 37\text{°}) = 180\text{°} - 127\text{°} = 53\text{°}$.
Une variante plus rapide consiste à dire que dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, soit $90\text{°} - 37\text{°} = 53\text{°}$.
Les Pièges Courants à Éviter
De nombreux élèves perdent des points sur des détails évitables :
1. L'oubli du milieu : Tracer un cercle de rayon 5,4 cm au lieu d'un diamètre de 5,4 cm.
2. Le manque de justification : Affirmer que le triangle est rectangle sans citer la propriété du diamètre.
3. Confusion des sommets : Placer l'angle de 37° sur le sommet A au lieu du sommet B.
4. Imprécision du tracé : Un écart de plus de 2 mm peut être sanctionné par le correcteur.
Conseils de Rédaction pour l'Examen
Pour maximiser votre score au Brevet, structurez vos réponses par la méthode "Données / Propriété / Conclusion".
Par exemple : "On sait que [AB] est le diamètre du cercle G et que D appartient à G. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc ABD est rectangle en D." Cette structure montre au correcteur que vous ne vous contentez pas de deviner le résultat, mais que vous maîtrisez la logique mathématique. N'oubliez pas de mettre en évidence vos résultats finaux et de toujours préciser l'unité (degrés pour les angles, cm pour les longueurs).