Introduction aux Fonctions et au Tableur en 3ème
L'exercice 2 du sujet de Brevet 2015 (Amérique du Sud) est un cas d'école pour tester les compétences numériques et algébriques des élèves de troisième. Il met en scène deux notions centrales du programme : les fonctions (linéaires et affines) et l'utilisation pédagogique d'un tableur. Comprendre comment passer d'une expression algébrique comme \(f(x) = -8x\) à une cellule de logiciel est une compétence indispensable non seulement pour l'examen, mais aussi pour le socle commun de compétences. Cet exercice demande de savoir calculer des images, retrouver des antécédents et analyser la nature d'une fonction complexe issue d'un produit.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Saisie de formules dans un tableur
La première question porte sur la logique informatique : "Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 avant de la recopier vers la droite ?". Dans un tableur, toute formule commence obligatoirement par le signe égal (\(=\)). La cellule B2 correspond à l'image de la valeur située en B1 par la fonction \(f\). Puisque \(f(x) = -8x\), l'élève doit comprendre que le logiciel doit multiplier -8 par le contenu de la cellule supérieure. La réponse attendue est donc =-8*B1.
Note pédagogique : Il est crucial de préciser l'étoile (\(*\)) pour la multiplication. Un piège classique serait d'écrire \(-8x\) ou d'oublier le signe égal, ce qui ne permettrait pas au logiciel d'effectuer le calcul. Le fait de "recopier vers la droite" signifie que les références sont relatives : en tirant la poignée de recopie, B1 deviendra C1, puis D1, calculant ainsi automatiquement les images suivantes.
2. Retrouver une valeur effacée (Antécédent)
La question 2 demande de retrouver le contenu de la cellule E1. En observant la colonne E, nous voyons que \(f(x) = -24\) et \(g(x) = -14\). Pour retrouver \(x\) (le contenu de E1), on peut résoudre l'une des deux équations. Utilisons la fonction \(f\) qui est plus simple : \(-8x = -24\). Pour isoler \(x\), on divise -24 par -8. On obtient \(x = 3\).
On peut vérifier avec la fonction \(g\) : \(g(3) = -6 \times 3 + 4 = -18 + 4 = -14\). La cohérence entre les deux résultats confirme que la valeur de E1 est bien 3. Cet exercice apprend à l'élève qu'un tableau de valeurs est une double lecture : de l'antécédent vers l'image, mais aussi de l'image vers l'antécédent.
3. Étude de la fonction produit h(x)
La question finale est une ouverture vers le calcul littéral : "La fonction \(h : x \longmapsto f(x) \times g(x)\) est-elle une fonction affine ?". Pour répondre, il faut développer l'expression :
\(h(x) = (-8x) \times (-6x + 4)\)
\(h(x) = (-8x) \times (-6x) + (-8x) \times 4\)
\(h(x) = 48x^2 - 32x\).
Une fonction affine est de la forme \(ax + b\). Ici, la présence du terme en \(x^2\) indique qu'il s'agit d'une fonction du second degré (parabole). Par conséquent, la fonction \(h\) n'est pas une fonction affine.
Les Pièges à Éviter
Durant l'épreuve du Brevet, plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :
- Confondre image et antécédent : Dans le tableur, la ligne 1 contient les antécédents (x) et les lignes 2 et 3 contiennent les images. Ne vous trompez pas de sens de lecture.
- La syntaxe du tableur : Ne mettez jamais de texte dans une formule de calcul. La lettre 'x' n'existe pas pour le tableur dans ce contexte, on utilise la référence de cellule (B1).
- Les signes négatifs : La manipulation des nombres relatifs (\(-8 \times -6 = 48\)) est une source fréquente d'erreurs d'inattention. Soyez extrêmement vigilants lors du développement de \(h(x)\).
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir le maximum de points, ne donnez pas seulement le résultat brut. Pour la question 1, écrivez : "Pour calculer l'image de x par f, on saisit =-8*B1 car B1 contient la valeur de x". Pour la question 2, présentez clairement l'équation : "On cherche x tel que \(f(x) = -24\), soit \(-8x = -24\)". Enfin, pour la question 3, montrez le développement complet de l'expression. Le correcteur doit voir que vous maîtrisez la distributivité. Concluez par une phrase claire : "L'expression de \(h(x)\) contient un terme en \(x^2\), donc ce n'est pas une fonction affine". Une rédaction soignée garantit la bienveillance du correcteur.