Introduction aux notions de modélisation et d'équations

L'épreuve du Brevet des Collèges, particulièrement celle de la session 2015 pour la zone Amérique du Sud, met l'accent sur une compétence transversale essentielle : la prise d'initiatives. Dans cet exercice numéro 8, nous sommes confrontés à une problématique concrète de la vie quotidienne : le choix d'un abonnement de transport. Cette situation nécessite de traduire un énoncé littéral en langage mathématique, une étape fondamentale de l'algèbre en classe de 3ème. L'objectif est d'utiliser les équations pour comparer deux modèles économiques distincts. Nous allons apprendre à poser des variables, à construire des fonctions affines et linéaires, et à résoudre une inéquation ou une équation pour déterminer un seuil de rentabilité.

Analyse Méthodique de l'énoncé : De la lecture à l'équation

Pour aborder cet exercice avec succès, la première étape consiste à identifier l'inconnue. Sophie veut savoir quelle formule est la plus avantageuse en fonction du nombre de voyages. Nous poserons donc \(x\) comme étant le nombre d'allers-retours effectués entre Toulouse et Bordeaux au cours d'une année. Une fois cette variable définie, nous devons exprimer le coût total pour chaque option proposée par la SNCF.

Analysons la première formule (le tarif plein). L'énoncé indique qu'un aller-retour coûte 40~€. Mathématiquement, cela se traduit par une fonction linéaire. Si Sophie fait \(x\) voyages, elle paiera \(40 \times x\), soit \(40x\). C'est une situation de proportionnalité simple.

Passons à la seconde formule (l'abonnement). Ici, la structure du prix est différente. Il y a un coût fixe, l'abonnement annuel de 442~€, auquel s'ajoute le prix réduit de chaque voyage. L'énoncé précise que le voyage coûte alors "moitié prix". La moitié de 40~€ étant 20~€, le coût d'un voyage est de 20~€. Le coût total pour \(x\) voyages est donc représenté par la fonction affine : \(20x + 442\).

Le coeur de la prise d'initiatives réside dans la comparaison de ces deux expressions. Sophie cherche le moment où la formule avec abonnement devient moins chère que la formule classique. On cherche donc à résoudre l'inéquation : \(20x + 442 < 40x\). Cette étape demande de la rigueur dans la manipulation des termes : en soustrayant \(20x\) des deux côtés, on obtient \(442 < 20x\), soit \(x > 442 / 20\). Le calcul nous donne \(x > 22,1\).

Les Pièges classiques à éviter

Lors de la résolution de ce type d'exercice au Brevet, plusieurs pièges peuvent faire perdre des points précieux. Le premier est l'oubli de la partie fixe dans l'option B. Beaucoup d'élèves calculent uniquement le prix du billet à 20~€ sans intégrer les 442~€ d'achat initial. Un autre piège fréquent concerne l'interprétation du résultat final. Comme \(x\) représente un nombre de voyages, il doit impérativement être un nombre entier. Trouver \(x > 22,1\) signifie que l'abonnement devient rentable à partir du 23ème voyage. Dire que c'est rentable à 22 voyages est une erreur d'interprétation logique.

Attention également aux unités : assurez-vous de toujours travailler en euros et de ne pas mélanger des prix unitaires avec des prix globaux. Enfin, la consigne mentionne explicitement que toute trace de recherche est valorisée. Ne gommez jamais vos essais au brouillon si vous n'êtes pas sûr de la solution finale ; une simple tentative de calcul pour 10 ou 20 voyages montre au correcteur que vous avez compris le mécanisme de comparaison.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir la note maximale, votre copie doit être structurée. Commencez par une phrase claire définissant votre variable : "Soit \(x\) le nombre d'allers-retours effectués par Sophie". Présentez ensuite vos calculs de manière distincte pour chaque option. Utilisez des titres ou des puces pour séparer l'analyse du Tarif A et du Tarif B. Pour la conclusion, ne vous contentez pas d'un chiffre brut. Rédigez une phrase de synthèse : "En dessous de 22 voyages, Sophie a intérêt à choisir le tarif normal. À partir de 23 voyages, l'abonnement annuel devient plus avantageux car le coût total sera inférieur à celui du plein tarif." Cette clarté démontre votre maîtrise du raisonnement logique, au-delà de la simple exécution technique de l'équation.