Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice de mathématiques issu du Brevet 2015 (Polynésie) est un cas d'école pour les élèves de 3ème. Il mobilise des compétences transversales essentielles : le calcul numérique avec des puissances, l'utilisation d'un tableur, et l'analyse critique de la proportionnalité. Le thème central est la distance d'arrêt, une notion de sécurité routière qui illustre parfaitement les grandeurs composées. L'élève doit être capable de passer d'une formule littérale complexe à une application concrète, tout en gardant un regard critique sur des affirmations populaires erronées.

Analyse Question 1 : Le calcul de la distance à 130 km/h

La première question demande une application directe de la formule fournie : \[D = \dfrac{5}{18} \times V + 0,006 \times V^2\]. Ici, la vitesse \(V\) est de 130 km/h. La difficulté réside dans le respect des priorités opératoires et la précision des calculs.
Étape 1 : Calcul du terme de réaction : \(\frac{5}{18} \times 130 \approx 36,11\) mètres.
Étape 2 : Calcul du terme de freinage : \(0,006 \times 130^2 = 0,006 \times 16900 = 101,4\) mètres.
Étape 3 : Addition des deux distances : \(36,11 + 101,4 = 137,51\) mètres.
Conclusion logique : L'obstacle étant à 100 mètres et la distance d'arrêt étant supérieure à 137 mètres, le conducteur ne pourra pas s'arrêter à temps. Il est crucial ici de bien rédiger la comparaison : \(137,51 > 100\).

Analyse Question 2 : Maîtrise de la syntaxe tableur

La question du tableur teste la capacité de l'élève à traduire une formule mathématique en langage informatique. La cellule cible est B2, qui correspond à la vitesse située en A2. La formule doit impérativement commencer par le signe égal (=). La multiplication est représentée par l'astérisque (*).
La formule correcte est : =(5/18)*A2 + 0,006*A2^2 ou =(5/18)*A2 + 0,006*A2*A2. L'utilisation de la référence relative "A2" est fondamentale car elle permet, lors de la "recopie vers le bas", d'adapter automatiquement le calcul pour les cellules A3, A4, etc. Une erreur fréquente est d'écrire la valeur "30" au lieu de la cellule "A2", ce qui rendrait la recopie inutile.

Analyse Question 3 : Démythifier la proportionnalité

L'affirmation selon laquelle la distance d'arrêt double quand la vitesse double est une idée reçue tenace mais mathématiquement fausse. Pour le démontrer, il suffit d'utiliser les données du tableau. Regardons la vitesse à 30 km/h : la distance est de 14 m. Si la relation était proportionnelle, à 60 km/h (le double de 30), la distance devrait être de \(14 \times 2 = 28\) m. Or, le tableau indique 38 m.
Pourquoi ? Parce que la formule contient un terme en \(V^2\). Dans une fonction du second degré, si la variable est multipliée par 2, l'image n'est pas simplement multipliée par 2. Cela permet d'aborder la notion de croissance non linéaire, cruciale pour la compréhension de la physique du freinage.

Analyse Question 4 : Vérification de la règle du Code de la Route

Le Code de la Route propose une méthode de calcul mental simplifiée : multiplier le chiffre des dizaines par lui-même. Pour une vitesse de 80 km/h, le chiffre des dizaines est 8. Le calcul est donc \(8 \times 8 = 64\).
Comparons avec le tableau : pour 80 km/h, la distance d'arrêt calculée avec la formule précise est de 61 m. On constate que 64 est très proche de 61. La règle est donc considérée comme cohérente et sécuritaire (elle surestime légèrement la distance, ce qui est préférable pour la sécurité). C'est un excellent exemple d'approximation mathématique utile dans la vie quotidienne.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. Les unités : Toujours préciser que la distance est en mètres (m) et la vitesse en km/h.
2. La précision : Ne pas arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires de la question 1 pour éviter les erreurs cumulées.
3. L'argumentation : Pour la question sur la proportionnalité, une seule preuve par le contre-exemple suffit, mais elle doit être clairement rédigée avec des chiffres issus du tableau.
4. Vocabulaire technique : Utilisez les termes exacts comme "référence de cellule", "priorité opératoire" et "croissance quadratique" pour valoriser votre copie.