Introduction au Programme de Calcul et au Calcul Littéral

Le sujet du Brevet 2015 de la zone Métropole présentait un exercice devenu classique : le programme de calcul. Cet exercice 5 est un support idéal pour tester les compétences des élèves de 3ème sur le calcul littéral, la manipulation des nombres relatifs et la reconnaissance des identités remarquables. L'objectif est de transformer une suite d'instructions verbales en une expression algébrique complexe. Comprendre ce mécanisme est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques, car il revient quasiment chaque année sous différentes formes.

Analyse Étape par Étape du Programme

Le programme de calcul se décompose en quatre instructions simples mais qui cachent des propriétés mathématiques intéressantes lorsqu'on les généralise. Reprenons-les :
1. Choisir un nombre.
2. Lui soustraire 6.
3. Multiplier ce résultat intermédiaire par le nombre de départ.
4. Ajouter 9 au tout.

Dans la première question, l'énoncé nous demande de vérifier un résultat. C'est une question de 'mise en confiance'. En choisissant $11$, le calcul est le suivant : $11 - 6 = 5$. Ensuite, on multiplie par le nombre initial : $5 \times 11 = 55$. Enfin, on ajoute 9 : $55 + 9 = 64$. Le résultat est bien 64. Cette étape permet à l'élève de s'assurer qu'il a bien compris l'ordre des opérations (la priorité des instructions).

La Difficulté des Nombres Relatifs

La question 2 introduit une variable négative : $-4$. C'est ici que de nombreux élèves commettent des erreurs de signes. Appliquons la méthode avec rigueur :
1. Nombre choisi : $-4$.
2. Soustraction : $-4 - 6 = -10$. Attention ici, soustraire 6 à un nombre déjà négatif nous éloigne de zéro.
3. Multiplication : $-10 \times (-4)$. La règle des signes est cruciale : le produit de deux nombres négatifs est positif. On obtient donc $40$.
4. Addition : $40 + 9 = 49$.
Le résultat pour $-4$ est donc $49$. On remarque que $49$ est un carré parfait ($7^2$), tout comme $64$ était $8^2$. Un élève attentif commence déjà à percevoir une régularité.

Généralisation et Identités Remarquables

La troisième question nous demande de prouver l'affirmation de Théo : 'Le résultat est toujours positif'. Pour démontrer une affirmation générale, le recours au calcul littéral est obligatoire. Appelons $x$ le nombre choisi au départ.
Le programme devient :
- Choisir $x$.
- Soustraire 6 : $x - 6$.
- Multiplier par $x$ : $x(x - 6)$.
- Ajouter 9 : $x(x - 6) + 9$.

Développons cette expression : $x^2 - 6x + 9$. Pour prouver que cette expression est toujours positive, il faut reconnaître une identité remarquable. On remarque que $x^2$ est le carré de $x$, $9$ est le carré de $3$, et $-6x$ correspond au double produit $-2 \times x \times 3$. Nous sommes donc face à la forme développée de $(x - 3)^2$.
Or, en mathématiques, le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Ainsi, quel que soit le nombre $x$ choisi, $(x - 3)^2 \ge 0$. Théo a donc parfaitement raison.

Les Pièges à Éviter

Lors de cet exercice, plusieurs points de vigilance sont à noter :
1. La confusion dans la multiplication : À l'étape 3, il faut bien multiplier par le nombre choisi au *début* et non par le résultat de l'étape précédente uniquement.
2. Les règles de signes : Comme vu avec $-4$, l'erreur de signe à l'étape du produit est fatale pour la suite de l'exercice.
3. L'absence de généralisation : Essayer plusieurs nombres (1, 2, 10...) ne suffit pas pour donner raison à Théo. Seule l'utilisation de la variable $x$ permet une démonstration universelle aux yeux du correcteur.
4. L'identité remarquable : Beaucoup d'élèves s'arrêtent à $x^2 - 6x + 9$ sans voir le carré parfait. Pourtant, c'est l'argument ultime pour prouver la positivité.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Présentez vos calculs intermédiaires clairement, même pour les questions numériques.
- Pour la question 3, commencez explicitement par : 'Soit $x$ le nombre choisi au départ'.
- Citez la propriété utilisée : 'Un carré est toujours positif'.
- Concluez par une phrase claire : 'L'affirmation de Théo est donc exacte'. Une rédaction soignée montre au correcteur que le raisonnement logique est maîtrisé, au-delà du simple calcul.