Introduction aux notions du Brevet 2015

Cet exercice issu de la session 2015 du Brevet des Collèges (Zone Amérique du Sud) est un classique incontournable. Il mobilise trois compétences majeures du programme de troisième : la maîtrise du calcul littéral, l'utilisation des identités remarquables et la conversion de grandeurs composées (vitesse) liée à la proportionnalité. Le format 'Vrai ou Faux' est particulièrement exigeant car il ne suffit pas de deviner la réponse : une justification mathématique rigoureuse est indispensable pour obtenir l'intégralité des points. Dans cette analyse, nous allons décortiquer chaque affirmation pour comprendre les mécanismes de résolution et éviter les erreurs classiques de raisonnement.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Calcul Littéral

L'énoncé nous propose d'étudier l'expression $n^2 - 6n + 9$ où $n$ est un nombre entier naturel. L'affirmation soutient que cette expression est 'toujours différente de 0'. Pour invalider une telle affirmation universelle, la méthode la plus efficace est la recherche d'un contre-exemple.

En observant attentivement l'expression $n^2 - 6n + 9$, un élève de 3ème doit immédiatement reconnaître une identité remarquable de la forme $a^2 - 2ab + b^2$. En effet :
- $a^2 = n^2$ donc $a = n$
- $b^2 = 9$ donc $b = 3$
- Le double produit $-2ab$ correspond bien à $-2 \times n \times 3 = -6n$.
L'expression peut donc se factoriser sous la forme $(n - 3)^2$.

Le problème revient alors à se demander s'il existe un entier naturel $n$ tel que $(n - 3)^2 = 0$. Un carré est nul si et seulement si le nombre sous le carré est nul. On résout donc l'équation simple $n - 3 = 0$, ce qui nous donne $n = 3$. Puisque 3 est bien un nombre entier naturel, nous avons trouvé notre contre-exemple. Pour $n = 3$, l'expression est égale à 0. L'affirmation 1 est donc FAUSSE.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Vitesses et Proportionnalité

La deuxième affirmation nous demande de comparer deux vitesses exprimées dans des unités différentes : 180 km/h pour le faucon pèlerin et 51 m/s pour un ballon de football. C'est un exercice de proportionnalité pur appliqué aux grandeurs physiques.

Pour comparer ces deux valeurs, il est impératif de les convertir dans la même unité. Choisissons de convertir la vitesse du faucon en m/s :
1. Nous savons qu'une heure contient 3 600 secondes ($60 \times 60$).
2. Nous savons qu'un kilomètre contient 1 000 mètres.
3. La vitesse de 180 km/h signifie que l'oiseau parcourt 180 000 mètres en 3 600 secondes.
Calcul de la vitesse en m/s : $V = \frac{180000}{3600} = \frac{1800}{36} = 50$ m/s.

Maintenant que les unités sont homogènes, la comparaison est directe : 50 m/s (faucon) est inférieur à 51 m/s (ballon). Contrairement à ce que prétend l'énoncé, le faucon n'est pas plus rapide que le ballon de football dans ce contexte précis. L'affirmation 2 est donc FAUSSE.

Les Pièges à éviter et Conseils de Rédaction

Le premier piège dans ce type d'exercice est de se précipiter sans tester de valeurs numériques. Pour l'affirmation 1, beaucoup d'élèves pensent que parce que $n^2$ croît vite, l'expression ne touchera jamais zéro. Il faut toujours avoir le réflexe de la factorisation. Si vous ne voyez pas l'identité remarquable, essayez de calculer l'expression pour $n=0, 1, 2, 3...$ dès les premiers essais, vous auriez trouvé le contre-exemple.

Pour l'affirmation 2, l'erreur classique est d'utiliser un mauvais coefficient de conversion. Certains élèves multiplient par 3,6 au lieu de diviser, ou oublient de convertir les kilomètres en mètres. Rappelez-vous la règle simple : pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6. $180 / 3,6 = 50$. C'est une astuce de calcul mental rapide qui permet de vérifier ses résultats au brouillon.

Enfin, pour la rédaction sur votre copie de Brevet :
1. Annoncez clairement votre position (Vrai ou Faux).
2. Présentez le calcul complet (la factorisation ou la conversion).
3. Concluez par une phrase de comparaison explicite. Une réponse 'Faux' sans calcul ne rapporte aucun point, même si elle est correcte.

Conclusion pédagogique

Cet exercice 5 du sujet Amerique du Sud 2015 démontre que le Brevet ne demande pas seulement de savoir calculer, mais de savoir choisir la bonne stratégie (contre-exemple ou conversion). En maîtrisant le passage d'une unité de temps à une autre et en gardant un œil critique sur les expressions algébriques via les identités remarquables, vous vous assurez une réussite totale sur ce type de questions.