Introduction aux notions de Volumes et de Proportionnalité
Cet exercice issu du Brevet 2014 de Nouvelle-Calédonie est un cas d'école traitant de la géométrie dans l'espace et de la gestion des grandeurs physiques. Il mobilise deux compétences majeures du programme de troisième : le calcul de volumes de sphères (boules) et l'application de la proportionnalité via la masse volumique. L'énoncé nous place dans un contexte concret, celui du dépôt de carburant de Koumourou, impliquant des calculs de stockage de butane. Comprendre ces concepts est essentiel, car ils reviennent quasi-systématiquement dans les épreuves du DNB sous forme de problèmes de synthèse.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Le calcul de la capacité d'une sphère de stockage
La première question demande de démontrer que le volume d'une sphère de 19,7 m de diamètre est d'environ 4000 m³. La première étape cruciale, souvent source d'erreur pour les élèves, est de ne pas confondre le diamètre et le rayon. La formule fournie est $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$. Ici, le diamètre étant de 19,7 m, le rayon $R$ est la moitié, soit $R = 9,85$ m.
En appliquant la formule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 9,85^3$. Le calcul donne environ $3999,56$ m³. On arrondit naturellement à l'unité supérieure, ce qui valide les 4000 m³ attendus. La maîtrise de la calculatrice est ici fondamentale, notamment pour l'utilisation de la touche $\pi$ et de la puissance au cube.
2. Conversion de masse en volume : La proportionnalité en action
La deuxième question introduit une donnée physique : 1200 tonnes de butane importées. On nous donne la masse volumique (1 m³ pèse 580 kg). Le défi est double : convertir les unités de masse et appliquer un rapport de proportionnalité.
Étape 1 : Convertir les tonnes en kilogrammes. Sachant que 1 tonne = 1000 kg, alors 1200 tonnes = 1 200 000 kg.
Étape 2 : Utiliser la règle de trois ou un tableau de proportionnalité. Si 580 kg occupent 1 m³, alors 1 200 000 kg occupent $x$ m³. Le calcul est : $1 200 000 / 580$. Le résultat obtenu est environ 2068,96 m³, soit 2069 m³ à l'unité.
3. Logique de stockage et comparaison
La dernière partie demande si deux petites sphères de 1000 m³ et 600 m³ suffisent pour stocker le volume calculé précédemment. On additionne les capacités : $1000 + 600 = 1600$ m³. En comparant 1600 m³ au besoin de 2069 m³, le constat est clair : la capacité est insuffisante. Il faudra donc impérativement utiliser la grande sphère de 4000 m³ pour absorber le surplus ou l'intégralité du chargement.
Les Pièges Classiques à Éviter
Plusieurs erreurs peuvent coûter des points précieux lors de l'épreuve :
1. L'erreur de rayon : Utiliser 19,7 directement dans la formule du volume au lieu de 9,85. Rappelez-vous : le rayon est toujours la moitié du diamètre.
2. Les unités de masse : Ne pas convertir les tonnes en kg avant de diviser par 580. On ne peut diviser des tonnes par des kg sans harmoniser les unités.
3. L'arrondi : Lire attentivement la consigne sur l'arrondi (à l'unité, au dixième, etc.). Un mauvais arrondi peut être pénalisé.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Commencez chaque question par citer la formule utilisée ou la propriété (ex: 'On sait que le volume d'une boule est...'). Affichez clairement vos calculs intermédiaires, notamment la conversion des tonnes en kg. Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion répondant précisément à la question posée, surtout pour la question 3 où une justification textuelle est explicitement demandée.