Introduction à la Géométrie Appliquée du Brevet

L'exercice 5 du Brevet de Mathématiques 2014 (Zone Amérique du Nord) est un cas d'école particulièrement intéressant. Il ne se contente pas de demander l'application d'une formule ; il impose une phase de modélisation mathématique à partir d'un objet du quotidien : un siège pliant de pêcheur. Cette épreuve sollicite deux compétences majeures du socle commun : la géométrie dans l'espace et l'utilisation du Théorème de Pythagore dans le plan. Pour réussir, l'élève doit être capable d'extraire des données pertinentes d'un texte et d'un schéma complexe (avec des vues en perspective) pour les ramener à des figures planes usuelles, comme le triangle rectangle ou le rectangle.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

L'énoncé nous présente un siège pliant dont nous connaissons plusieurs dimensions : la longueur des pieds ($56$ cm), la largeur de l'assise ($34$ cm) et la profondeur de l'assise ($31$ cm). L'objectif est de déterminer la hauteur du siège pour vérifier si elle convient à Nicolas, qui a besoin d'une assise située entre $44$ cm et $46$ cm. La première étape cruciale consiste à identifier les points et les segments utiles. Le schéma nous indique que le triangle $ACE$ est rectangle en $C$. C'est ici que réside la clé du problème. Dans ce triangle $ACE$, nous connaissons l'hypoténuse $[AE]$, qui correspond à la longueur d'un pied du siège, soit $56$ cm. Nous connaissons également le côté $[AC]$, qui correspond à la profondeur de l'assise, soit $31$ cm. Le segment $[CE]$ représente la hauteur verticale du siège que nous cherchons à calculer.

Raisonnement et Calculs avec le Théorème de Pythagore

Puisque le triangle $ACE$ est rectangle en $C$, nous pouvons appliquer l'égalité de Pythagore. Pour rappel, cet outil fondamental de la classe de 3ème stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Nous écrivons donc la relation suivante : $AE^2 = AC^2 + CE^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies par l'énoncé, nous obtenons : $56^2 = 31^2 + CE^2$. Les calculs nous donnent : $3136 = 961 + CE^2$. Pour isoler $CE^2$, nous effectuons une soustraction : $CE^2 = 3136 - 961 = 2175$. Pour trouver la valeur de la hauteur $CE$, nous devons passer à la racine carrée : $CE = \sqrt{2175} \approx 46,63$ cm. Cette valeur est le résultat brut de notre modélisation mathématique.

Interprétation de la Réponse et Comparaison

Une fois la valeur de $CE$ trouvée (environ $46,6$ cm), il est impératif de revenir à la question initiale posée par Nicolas. La condition pour que le siège soit adapté est que la hauteur de l'assise soit comprise entre $44$ cm et $46$ cm. Or, notre calcul montre que $46,6 > 46$. Par conséquent, la hauteur du siège est légèrement trop élevée pour la taille de Nicolas. La réponse finale doit être formulée clairement : "Non, la hauteur du siège n'est pas adaptée car $46,6$ cm n'est pas compris dans l'intervalle $[44 ; 46]$." Cette étape de conclusion est souvent négligée par les élèves, mais elle est essentielle pour obtenir la totalité des points de l'exercice.

Les Pièges Classiques à Éviter

Dans ce type d'exercice, plusieurs erreurs peuvent survenir. Premièrement, la confusion des dimensions : certains élèves pourraient être tentés d'utiliser la largeur de l'assise ($34$ cm) au lieu de la profondeur ($31$ cm) dans le calcul de Pythagore. Il faut bien observer le schéma pour comprendre que le triangle $ACE$ se situe dans le plan de la profondeur. Deuxièmement, l'erreur sur l'hypoténuse : il faut identifier le côté le plus long face à l'angle droit avant d'écrire l'égalité. Ici, c'est $AE$ ($56$ cm) qui joue ce rôle. Enfin, l'oubli de l'unité : n'oubliez jamais de préciser que les résultats sont en centimètres (cm). Une réponse sans unité perd systématiquement de sa valeur aux yeux d'un correcteur.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, suivez cette structure de rédaction : 1. Nommez le triangle dans lequel vous travaillez. 2. Précisez la nature du triangle (rectangle en quel point). 3. Citez explicitement le théorème utilisé ("D'après le théorème de Pythagore..."). 4. Écrivez l'égalité avec les lettres avant de passer aux chiffres. 5. Détaillez les étapes du calcul (carrés, soustraction, racine carrée). 6. Concluez par une phrase répondant précisément à la question posée par l'énoncé. Une rédaction propre et rigoureuse montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement la technique de calcul, mais aussi la logique de la démonstration mathématique.