Introduction aux notions de Géométrie Plane et de Trigonométrie

L'exercice 6 du Brevet de Nouvelle-Calédonie 2014 est un classique qui mobilise des compétences essentielles en géométrie plane, notamment la gestion des angles dans un cercle et l'application rigoureuse du théorème de Pythagore dans un contexte concret. Les élèves de 3ème doivent ici démontrer leur capacité à modéliser une situation réelle (une éolienne et un randonneur) sous forme d'objets mathématiques simples : segments, triangles rectangles et angles.

Analyse de la Question 1 : Mesure d'angle et symétrie

La première question porte sur la répartition régulière des pales d'une éolienne. On nous précise que l'angle entre chaque pale est identique. Puisqu'un tour complet représente $360^{\circ}$, le calcul pour trois pales est une division simple : $360 / 3 = 120$. Le raisonnement pédagogique consiste à comprendre que l'éolienne possède une symétrie centrale de centre A. Chaque portion est égale, ce qui est une application directe des angles au centre d'un cercle. La mesure de l'angle entre deux pales est donc de $120^{\circ}$.

Analyse de la Question 2 : Construction géométrique

Pour la deuxième question, l'élève doit passer à une éolienne à six pales. Le calcul préalable est indispensable : $360 / 6 = 60^{\circ}$. La construction demande de l'application : en partant du point A, il faut utiliser un rapporteur pour marquer des angles de $60^{\circ}$ et une règle pour tracer des segments de $5~cm$. C'est un excellent test pour la précision du tracé en géométrie plane. Il est crucial de bien pointer le centre A et de respecter la longueur imposée pour chaque pale afin de conserver la symétrie de la figure.

Analyse de la Question 3 : L'application cruciale du Théorème de Pythagore

C'est le cœur de l'exercice. Nous devons trouver la distance $BC$, qui correspond à la distance horizontale entre le mât et le randonneur. Pour cela, il faut extraire un triangle rectangle du schéma fourni. Soit le point A le sommet du mât (centre des pales) et B sa base. Soit C le point où se trouve le randonneur. Cependant, attention : les oreilles du randonneur ne sont pas au sol, mais à $1,80~m$.

Appelons $H$ le point situé sur le mât à la même hauteur que les oreilles du randonneur (à $1,80~m$ du sol). Nous travaillons alors dans un triangle rectangle que nous nommerons $ADH$, où $D$ représente la position des oreilles. La distance verticale utile n'est pas $35~m$, mais la différence de hauteur entre le centre des pales et les oreilles : $35 - 1,80 = 33,2~m$. La distance sonore (l'hypoténuse) est donnée : $80~m$.

D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle : $Distance^{2} + HauteurRelative^{2} = Hypoténuse^{2}$. On a donc $BC^{2} + 33,2^{2} = 80^{2}$. En isolant la distance, on obtient $BC^{2} = 80^{2} - 33,2^{2}$, soit $BC^{2} = 6400 - 1102,24 = 5297,76$. Enfin, $BC = \sqrt{5297,76} \approx 72,785$. L'énoncé demande d'arrondir à l'unité, ce qui donne $73~m$.

Les pièges à éviter pour l'examen

Le piège principal de cet exercice réside dans l'oubli de la hauteur du randonneur. Beaucoup d'élèves utilisent directement la valeur de $35~m$ dans le théorème de Pythagore, ce qui fausse le résultat final. Toujours bien lire l'énoncé : 'ses oreilles sont à $1,80~m$ du sol'. Un autre piège fréquent est l'erreur d'arrondi. Si le chiffre après la virgule est supérieur ou égal à 5, on arrondit à l'unité supérieure. Ici, $72,7$ devient $73$.

Conseils de rédaction pour obtenir tous les points

Pour maximiser ses points au Brevet, la rédaction doit être structurée. 1. Énoncer clairement la soustraction des hauteurs. 2. Citer explicitement le théorème de Pythagore et préciser dans quel triangle rectangle on l'applique. 3. Montrer les étapes du calcul (carré, soustraction, racine carrée). 4. Terminer par une phrase de conclusion incluant l'unité (le mètre) et le respect de la consigne d'arrondi. Une figure à main levée codée sur votre brouillon peut grandement aider à ne pas se tromper de côté lors de l'application de la formule.