Introduction aux Probabilités au Brevet des Collèges

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, extrait du sujet du Brevet 2014 (Série Amérique du Nord), met en scène une situation concrète : un jeu de dés entre Jules et Paul sur une péniche. À travers cet énoncé, les élèves sont confrontés à deux notions majeures : l'équiprobabilité sur un dé unique et le dénombrement des issues lors d'une expérience aléatoire à deux étapes (le lancer de deux dés simultanés). L'objectif est de comprendre comment modéliser un jeu complexe comportant des règles de gains spécifiques pour en déduire une probabilité de victoire.

Analyse de la Question 1 : La Notion d'Équiprobabilité

La première question interroge sur la probabilité d'obtenir un « 1 » par rapport à celle d'obtenir un « 5 ». L'énoncé précise que les dés sont « équilibrés ». En langage mathématique, cela signifie que nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Chaque face du dé a exactement la même chance d'apparaître lors d'un jet. Puisqu'un dé possède 6 faces, la probabilité de chaque face est de $1/6$. Ainsi, obtenir un « 1 » est aussi probable que d'obtenir un « 5 ». Pour le rédiger le jour du brevet, il suffit de mentionner que le dé n'est pas truqué et que chaque issue possède la même fréquence théorique de réalisation.

Analyse de la Question 2 : L'Univers des Possibles (Espace de 36 issues)

Dans cette partie, Jules lance un dé rouge et un dé jaune. C'est une expérience aléatoire composée. L'exercice demande d'expliquer pourquoi il existe 36 issues possibles. Pour le démontrer, la méthode la plus rigoureuse consiste à utiliser un tableau à double entrée ou un arbre de dénombrement. Pour chaque face obtenue sur le dé rouge (il y en a 6), il existe 6 possibilités pour le dé jaune. Par le principe multiplicatif du dénombrement, nous obtenons donc $6 \times 6 = 36$ couples de résultats possibles (par exemple : (1;1), (1;2), ... (6;6)). Chaque issue est un couple ordonné (Rouge ; Jaune). Cette structure est cruciale pour la suite de l'exercice car elle définit le dénominateur de toutes nos fractions de probabilités.

Analyse de la Question 3 : Calcul de la Probabilité de Victoire

Cette question est la plus complexe car elle demande une analyse fine du système de points. Paul a déjà 650 points et veut atteindre 1000 points. Il lui manque donc au minimum $1000 - 650 = 350$ points pour gagner lors de son prochain lancer. Analysons les gains possibles selon les règles :
- Faire une paire de 1 : Il gagne 1000 points (Victoire directe).
- Faire une paire de 2 : $2 \times 100 = 200$ points (Insuffisant).
- Faire une paire de 3 : $3 \times 100 = 300$ points (Insuffisant).
- Faire une paire de 4 : $4 \times 100 = 400$ points (Victoire).
- Faire une paire de 5 : $5 \times 100 = 500$ points (Victoire).
- Faire une paire de 6 : $6 \times 100 = 600$ points (Victoire).
- Tout autre résultat (pas une paire) : 50 points (Insuffisant).

Les issues favorables pour que Paul gagne sont donc les paires suivantes : (1;1), (4;4), (5;5) et (6;6). Il y a donc 4 issues favorables parmi les 36 issues totales dénombrées précédemment. La probabilité que Paul gagne à son troisième lancer est donc de $4/36$, ce qui se simplifie en $1/9$. En valeur approchée, cela représente environ 0,11 soit 11,1% de chances de gagner immédiatement.

Les Pièges à Éviter

L'erreur classique dans cet exercice serait d'oublier la paire de 1 sous prétexte qu'elle ne suit pas la règle du « 100 fois la valeur ». Or, la règle stipule qu'une paire de 1 donne directement 1000 points, ce qui est supérieur aux 350 points requis. Un autre piège consiste à ne pas traiter les deux dés comme distincts (rouge et jaune). Si l'on ne considère pas l'ordre ou la couleur, on risque de compter moins de 36 issues, ce qui fausserait tout le calcul de probabilité.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Le correcteur attend une justification claire du dénominateur (36). N'hésitez pas à dessiner rapidement un petit tableau 6x6 sur votre copie pour illustrer votre raisonnement. Pour la question 3, listez explicitement les cas favorables. Mentionner la formule « Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles » est toujours un plus. Enfin, pensez à simplifier vos fractions ! Passer de $4/36$ à $1/9$ montre une maîtrise arithmétique qui valorise votre copie de Brevet.