Introduction aux Fondamentaux de la Géométrie du Brevet

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2014 en Polynésie est une synthèse remarquable des compétences attendues en fin de collège. Il mobilise quatre piliers majeurs du programme de troisième : les propriétés du cercle (triangle rectangle inscrit), la trigonométrie pour le calcul d'angles, la réciproque du théorème de Thalès pour prouver le parallélisme, et enfin le calcul d'aires. Cet exercice est idéal pour réviser car il demande à l'élève non seulement de connaître ses formules, mais surtout de savoir quel outil mathématique utiliser selon la situation géométrique donnée. Dans cet examen, la figure n'est pas en vraie grandeur, ce qui oblige à un raisonnement rigoureux basé uniquement sur les données textuelles et les propriétés géométriques apprises en classe.

Question 1 : Démontrer qu'un Triangle est Rectangle via le Cercle

La première question nous demande de prouver que le triangle ATB est rectangle. Ici, le piège serait de vouloir utiliser la réciproque du théorème de Pythagore alors que nous ne connaissons pas encore toutes les longueurs avec certitude (bien que le rayon soit de 7,5 cm, ce qui donne un diamètre de 15 cm). La méthode la plus élégante et la plus directe repose sur la propriété du cercle : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce diamètre. Dans l'énoncé, il est précisé que [AB] est un diamètre du cercle (C) et que le point T est situé sur ce cercle. Par conséquent, le triangle ATB est rectangle en T. Cette étape est cruciale car elle valide l'utilisation de la trigonométrie pour la question suivante.

Question 2 : Calcul d'Angle et Trigonométrie dans le Triangle Rectangle

Maintenant que nous avons établi que le triangle ATB est rectangle en T, nous pouvons calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAT}$. On dispose des longueurs suivantes : le côté adjacent AT = 12 cm, le côté opposé BT = 9 cm, et l'hypoténuse AB = 15 cm (puisque le rayon est de 7,5 cm). Pour trouver l'angle, nous avons le choix entre le cosinus, le sinus ou la tangente. Utilisons par exemple la tangente : $\tan(\widehat{BAT}) = \frac{BT}{AT} = \frac{9}{12} = 0,75$. En utilisant la touche 'Arctan' ou '2nd Tan' de la calculatrice, on obtient une valeur proche de 36,87°. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est 37°. Une erreur fréquente consiste à mal identifier les côtés (confondre adjacent et opposé) ou à oublier de configurer sa calculatrice en mode 'Degré'.

Question 3 : La Réciproque du Théorème de Thalès en Action

La question du parallélisme des droites (AB) et (KF) nous oriente immédiatement vers le théorème de Thalès. Les points T, B, K d'une part et T, A, F d'autre part sont alignés dans cet ordre. Nous devons comparer les rapports des longueurs partant du sommet commun T : d'un côté $\frac{TK}{TB}$ et de l'autre $\frac{TF}{TA}$. En remplaçant par les valeurs numériques : $\frac{TK}{TB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ et $\frac{TF}{TA} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. On constate que $\frac{TK}{TB} = \frac{TF}{TA}$. Les rapports étant égaux et les points étant alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que les droites (AB) et (KF) sont parallèles. C'est un point de méthodologie essentiel : ne jamais oublier de mentionner l'ordre des points pour valider la réciproque.

Question 4 : Calcul d'Aire et Nature du Triangle TKF

Pour calculer l'aire du triangle TKF, il faut d'abord identifier sa nature. Les angles $\widehat{ATB}$ et $\widehat{KTF}$ sont opposés par le sommet. Puisque le triangle ATB est rectangle en T, l'angle $\widehat{ATB}$ mesure 90°, donc l'angle $\widehat{KTF}$ mesure également 90°. Le triangle TKF est donc rectangle en T. La formule de l'aire d'un triangle rectangle est simple : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, l'aire est égale à $\frac{TK \times TF}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}^2$. Notez qu'on aurait aussi pu utiliser le coefficient d'agrandissement-réduction. Puisque le rapport des longueurs entre TKF et TBA est de $1/3$, le rapport des aires est de $(1/3)^2 = 1/9$. L'aire de ATB étant $(12 \times 9) / 2 = 54$, l'aire de TKF est $54 / 9 = 6 \text{ cm}^2$. Les deux méthodes sont valides et confirment le résultat.

Les Pièges Classiques à Éviter le Jour J

Le premier piège est l'unité. Même si ici tout est en centimètres, vérifiez toujours la cohérence. Le second piège concerne la rédaction de Thalès : beaucoup d'élèves oublient de préciser que les points sont alignés dans le même ordre, ce qui peut coûter des points sur la copie. Enfin, pour la trigonométrie, assurez-vous de bien citer dans quel triangle rectangle vous travaillez avant de poser vos rapports. Une confusion entre le rayon (7,5) et le diamètre (15) est également une source d'erreur fréquente dans cet exercice précis.

Guide de Rédaction pour Maximiser tes Points

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la clarté est reine. Structurez votre réponse ainsi : 1. Enoncé de la propriété ou du théorème utilisé. 2. Application numérique avec les lettres, puis les chiffres. 3. Phrase de conclusion soulignée ou encadrée. Par exemple, pour la question 1, écrivez : 'Je sais que [AB] est le diamètre... Or, si un triangle est inscrit... Donc ATB est rectangle'. Cette structure logique rassure le correcteur et prouve votre maîtrise du raisonnement mathématique. Ne négligez pas la figure, même si elle est à main levée : elle vous sert de brouillon pour visualiser les angles et les rapports de proportionnalité.