Introduction à la Géométrie Plane et aux Angles Extérieurs
Cet exercice issu du Brevet des collèges 2014 (Sujet Polynésie) constitue un excellent support pour réviser les fondamentaux de la géométrie plane en classe de 3ème. Il met en jeu des notions clés : les propriétés des triangles isocèles, la somme des angles intérieurs d'un triangle, et surtout la notion d'angle extérieur. Comprendre qu'un angle extérieur est supplémentaire à l'angle intérieur adjacent est une compétence fondamentale pour aborder les polygones complexes. Dans cet exercice, nous allons démontrer que, quelle que soit la forme du triangle, la somme de ses angles extérieurs reste constante. C'est une propriété fascinante de la géométrie euclidienne.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous place dans le cadre d'un triangle $ABC$ isocèle en $A$. La base $[BC]$ est fixe ($5$ cm), mais l'angle au sommet peut varier. Cette configuration est idéale pour observer comment les variations d'un angle impactent l'ensemble de la figure.
Question 1 : Cas particulier avec $\widehat{ABC} = 40^\circ$
Dans cette première phase, on nous donne une valeur numérique fixe. Pour construire le triangle, il faut se rappeler qu'un triangle isocèle en $A$ possède deux angles à la base égaux. Ainsi, si $\widehat{ABC} = 40^\circ$, alors $\widehat{ACB} = 40^\circ$.
Le calcul de l'angle au sommet $\widehat{BAC}$ se fait par soustraction : $180 - (40 + 40) = 100^\circ$.
Calcul des angles extérieurs :
Un angle extérieur est défini comme le supplément de l'angle intérieur.
1. Pour l'angle au sommet $B$ : l'angle extérieur vaut $180 - 40 = 140^\circ$.
2. Pour l'angle au sommet $C$ : l'angle extérieur vaut également $180 - 40 = 140^\circ$.
3. Pour l'angle au sommet $A$ : l'angle extérieur vaut $180 - 100 = 80^\circ$.
La vérification de la somme est immédiate : $140 + 140 + 80 = 360^\circ$. Ce résultat n'est pas un hasard, il illustre le théorème de la somme des angles extérieurs.
Question 2 : Généralisation et Démonstration
La question posée est : est-il possible que cette somme soit différente de $360^\circ$ ? La réponse est non. Pour le prouver, utilisons le calcul littéral. Soit $x$ la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. Comme le triangle est isocèle en $A$, l'angle $\widehat{ACB}$ vaut aussi $x$. L'angle $\widehat{BAC}$ vaut donc $180 - 2x$.
Listons les angles extérieurs :
- Aux sommets $B$ et $C$ : les angles valent $180 - x$.
- Au sommet $A$ : l'angle vaut $180 - (180 - 2x) = 2x$.
Sommons ces trois expressions : $(180 - x) + (180 - x) + 2x = 360 - 2x + 2x = 360^\circ$.
La variable $x$ s'annule, ce qui prouve que la somme est invariante : elle ne dépend pas de la forme du triangle.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente consiste à confondre l'angle extérieur avec l'angle 'rentrant' (360° moins l'angle intérieur). Un angle extérieur au sens géométrique est celui obtenu en prolongeant un côté du triangle. Il est impératif d'utiliser la propriété des angles supplémentaires (dont la somme fait $180^\circ$). Un autre piège est d'oublier la nature isocèle du triangle, ce qui fausserait les calculs dès la première étape.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, soignez votre argumentation. Utilisez des connecteurs logiques : 'Or, nous savons que le triangle est isocèle en A, donc...', 'De plus, la somme des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$'. Pour la construction, assurez-vous que vos traits sont fins et précis. Mentionnez explicitement vos calculs de soustraction pour montrer au correcteur votre démarche logique. La clarté de la figure (codage des segments égaux et des angles) est également valorisée.