Introduction à la Géométrie Plane du Brevet 2014
La géométrie plane est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu de la session 2014 de la zone Métropole, se concentre sur une figure complexe mais régulière : l'octogone. À travers cet exercice, les élèves sont évalués sur leur capacité à manipuler des polygones réguliers, à comprendre les propriétés des cercles circonscrits et à appliquer les théorèmes fondamentaux sur les angles. La maîtrise de ces notions est cruciale pour réussir l'épreuve de mathématiques, car elles reviennent fréquemment sous diverses formes (calculs de longueurs, démonstrations géométriques ou constructions à la règle et au compas).
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice est structuré en trois étapes progressives : la construction, la démonstration logique et le calcul d'angle. Voici une décomposition pédagogique pour chaque question.
1. Construction de l'Octogone Régulier
La première consigne demande d'effectuer un agrandissement de l'octogone en l'inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Pour réussir cette étape, il faut se rappeler la définition d'un octogone régulier : un polygone à huit côtés de même longueur, dont tous les sommets se trouvent sur un même cercle (le cercle circonscrit).
Méthodologie : Tracez d'abord un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Puisque l'octogone est régulier, l'angle au centre entre deux sommets consécutifs est de $360^\circ / 8 = 45^\circ$. Vous pouvez utiliser un rapporteur pour marquer des points tous les 45 degrés à partir du centre, ou utiliser la méthode du compas en traçant des médiatrices successives (partir d'un carré inscrit, puis diviser chaque arc de cercle en deux). Bien que la justification ne soit pas attendue, la précision du tracé est essentielle pour la suite visuelle de l'exercice.
2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle
Cette question fait appel à une propriété classique du cercle circonscrit à un triangle. Dans un octogone régulier ABCDEFGH de centre O, les sommets sont diamétralement opposés deux à deux.
Le raisonnement : Dans l'octogone régulier, les segments [AE], [BF], [CG] et [DH] sont des diamètres du cercle circonscrit. En observant le triangle DAH, on constate que le côté [DH] est précisément l'un de ces diamètres. Or, un théorème fondamental de 4ème (souvent révisé en 3ème) stipule que : 'Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce diamètre'.
Par conséquent, puisque A est un point du cercle et que [DH] est un diamètre, le triangle DAH est rectangle en A. Cette démonstration est simple mais nécessite de bien citer le théorème pour obtenir l'intégralité des points.
3. Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BEH}}$
Ici, nous entrons dans le domaine des angles inscrits et des angles au centre. L'angle $\widehat{\text{BEH}}$ est un angle inscrit dans le cercle circonscrit à l'octogone. Il intercepte l'arc de cercle BH.
Étape de calcul : Commençons par calculer l'angle au centre $\widehat{\text{BOH}}$ qui intercepte le même arc. Dans un octogone régulier, chaque 'part' (arc entre deux sommets successifs) correspond à un angle au centre de $45^\circ$. Pour aller de B à H en passant par A, nous avons deux arcs : l'arc BA et l'arc AH. Donc, l'angle au centre $\widehat{\text{BOH}} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
Théorème : On utilise ensuite la propriété de l'angle inscrit : 'La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc'. Ainsi, $\widehat{\text{BEH}} = \frac{1}{2} \times \widehat{\text{BOH}} = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$.
Les Pièges à Éviter
Attention à ne pas mesurer l'angle avec votre rapporteur sur votre dessin pour répondre à la question 3 ! En mathématiques, 'Calculer' signifie qu'une démarche logique et numérique est attendue, basée sur les propriétés de la figure et non sur une mesure physique qui peut comporter des erreurs d'imprécision.
Un autre piège classique est de confondre l'octogone avec un hexagone (6 côtés). Vérifiez toujours le nombre de sommets. Enfin, n'oubliez pas que pour la question 2, il est impératif de mentionner que le triangle est *inscrit* dans le cercle, sinon le théorème du diamètre ne s'applique pas rigoureusement.
Conseils de Rédaction
Pour maximiser vos points, structurez vos réponses avec les connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Par exemple, pour la question 2 :
1. On sait que l'octogone est régulier et inscrit dans un cercle de centre O, et que [DH] passe par O (diamètre).
2. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre, il est rectangle.
3. Donc DAH est rectangle en A.