Introduction aux Fonctions à travers le Tir à l'Arc

Cet exercice issu du Brevet 2014 (Zone Polynésie) est un cas d'école pour comprendre l'utilité des fonctions dans la modélisation de phénomènes physiques. Nous étudions ici une trajectoire parabolique, typique d'un projectile soumis à la gravité. Le thème central est celui des fonctions, une notion pilier du programme de mathématiques de 3ème. L'objectif est double : valider vos capacités de lecture graphique et confirmer ces observations par le calcul algébrique. La fonction $f(x)$ associe ici la distance horizontale parcourue par la flèche (notée $x$) à sa hauteur (notée $f(x)$).

Analyse Méthodique : La Lecture Graphique (Partie 1)

La première partie de l'exercice repose exclusivement sur l'observation de la courbe fournie. En mathématiques, il est crucial de savoir extraire des informations d'un repère orthogonal sans se laisser impressionner par la complexité de la courbe.

1.1. Hauteur de tir : Pour savoir de quelle hauteur la flèche est tirée, il faut regarder l'origine du mouvement. Sur l'axe des abscisses (horizontal), cela correspond à $x = 0$. En observant l'axe des ordonnées (vertical) au point d'abscisse 0, nous lisons l'ordonnée à l'origine. Le point de départ se situe à 1 mètre du sol. On dira que $f(0) = 1$.

1.2. Distance d'impact : La flèche retombe au sol lorsque sa hauteur est nulle. Graphiquement, cela correspond à l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (l'axe $x$). On observe que la courbe coupe l'axe horizontal à la graduation 10. Ainsi, la flèche parcourt une distance horizontale de 10 mètres avant de toucher le sol.

1.3. Hauteur maximale : Le sommet de la courbe (le sommet de la parabole) représente le point le plus haut atteint. En observant le point le plus élevé du tracé, on constate qu'il se situe entre 4 et 5 mètres sur l'axe horizontal. L'ordonnée correspondante est de 3 mètres. C'est le maximum de la fonction sur l'intervalle [0 ; 10].

Analyse Algébrique : Le Passage au Calcul (Partie 2)

La seconde partie demande de manipuler l'expression analytique de la fonction : $f(x) = - 0,1 x^2 + 0,9x + 1$. C'est ici que la rigueur mathématique prend le relais sur l'approximation visuelle.

2.1. Calcul de l'image de 5 : Pour calculer $f(5)$, on remplace chaque $x$ par la valeur 5 dans l'expression :
$f(5) = -0,1 \times 5^2 + 0,9 \times 5 + 1$
$f(5) = -0,1 \times 25 + 4,5 + 1$
$f(5) = -2,5 + 4,5 + 1$
$f(5) = 2 + 1 = 3$.
Cela signifie qu'à une distance horizontale de 5 mètres, la flèche se trouve exactement à 3 mètres de hauteur. Ce calcul confirme d'ailleurs notre lecture graphique précédente.

2.2. Analyse de la hauteur maximale : La question demande si la flèche s'élève à plus de 3 mètres. Grâce à la lecture graphique, nous avons vu que le sommet semble être à 3 mètres. Le calcul de $f(5) = 3$ renforce cette idée. En réalité, le sommet d'une fonction de type $ax^2+bx+c$ se trouve en $x = -b/2a$. Ici, $x = -0,9 / (2 \times -0,1) = -0,9 / -0,2 = 4,5$.
Calculons $f(4,5)$ pour être précis :
$f(4,5) = -0,1 \times (4,5)^2 + 0,9 \times 4,5 + 1 = -0,1 \times 20,25 + 4,05 + 1 = -2,025 + 5,05 = 3,025$.
La réponse est donc étonnamment OUI, la flèche dépasse très légèrement les 3 mètres (elle atteint 3,025 m), ce qui est quasi invisible à l'œil nu sur le graphique !

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points le jour du Brevet :
1. Confondre Abscisse et Ordonnée : Rappelez-vous toujours que $x$ est horizontal (la cause, la distance parcourue) et $f(x)$ est vertical (l'effet, la hauteur).
2. Oublier les Unités : L'énoncé précise que les mesures sont en mètres. Une réponse sans unité est incomplète.
3. Les Priorités Opératoires : Dans le calcul de $f(5)$, n'oubliez pas que le carré porte uniquement sur le 5, et qu'il est prioritaire sur la multiplication par -0,1.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour la partie lecture graphique, soyez direct : « Par lecture graphique, on observe que... ». Pour la partie calcul, détaillez chaque étape comme montré ci-dessus. Une copie claire avec des étapes de calcul bien alignées rassure le correcteur et garantit le maximum de points.