Introduction aux fonctions et à la modélisation mathématique

Dans cet exercice issu du Brevet des Collèges 2014 pour la zone Amérique du Sud, nous abordons le thème central des fonctions à travers une situation concrète et interdisciplinaire : la biologie. Ici, les mathématiques servent à modéliser l'évolution d'un phénomène biologique, à savoir la réponse immunitaire après une vaccination. En classe de 3ème, la maîtrise de la lecture graphique est une compétence fondamentale. Elle préfigure la notion de fonction $f(x) = y$, où $x$ représente ici le temps écoulé et $y$ la concentration d'anticorps dans le sang.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice repose sur l'interprétation d'une courbe représentative. Pour réussir, il faut impérativement distinguer l'axe des abscisses (axe horizontal, le temps en jours) de l'axe des ordonnées (axe vertical, le taux d'anticorps).

Question 1 : Détection des premiers anticorps

Pour répondre à la question « Combien de jours faut-il attendre ? », l'élève doit repérer le moment où la courbe quitte l'axe des abscisses (ordonnée $y = 0$). En observant attentivement les points fournis dans le code source LaTeX : (0,0)(1.5,0)(3,40), on constate que jusqu'à 1,5 jour, le taux reste nul. C'est entre le 1,5ème jour et le 3ème jour que la production commence. Par lecture graphique, on acceptera généralement une réponse située entre 1,5 et 2 jours. Raisonnement : L'organisme a besoin d'un temps de latence pour identifier l'antigène et déclencher la réponse immunitaire primaire.

Question 2 : Maximum et repérage temporel

La valeur maximale après la première injection correspond au premier sommet de la courbe (le premier 'pic'). Le point culminant est situé aux coordonnées $(5, 90)$. Le taux maximum est donc de 90 unités arbitraires.
La seconde partie de la question demande de transformer cette donnée numérique en donnée calendaire. Pablo a reçu son injection le jeudi 16 octobre. Le pic a lieu à $J+5$. En comptant : Vendredi (1), Samedi (2), Dimanche (3), Lundi (4), Mardi (5). Le pic est donc atteint un mardi.

Question 3 : Disparition des anticorps

Il s'agit de trouver l'antécédent de la valeur 0 sur l'intervalle suivant le premier pic. La courbe redescend et touche l'axe des abscisses au point (13,0). On en déduit qu'approximativement 13 jours après l'injection, Pablo n'a plus d'anticorps mesurables suite à cette première dose. Cela justifie mathématiquement la nécessité du rappel (la seconde injection visible après le 29ème jour) pour relancer et amplifier la protection.

Question 4 : Durée d'efficacité supérieure à 800

Ici, on s'intéresse à la réponse immunitaire secondaire (après le rappel). On trace une ligne imaginaire horizontale à l'ordonnée $y = 800$. On cherche l'écart de temps (la durée) pendant laquelle la courbe est au-dessus de cette ligne.
D'après les points (33.7, 800) et (35.5, 810) puis (36, 790), on voit que la courbe dépasse 800 juste avant le 34ème jour et repasse en dessous vers le 36ème jour.
Calcul de la durée : $35,5 - 33,7 = 1,8$ jours. On peut donc estimer que le taux reste supérieur à 800 pendant environ 2 jours.

Les Pièges à éviter

1. Confusion d'axes : Ne confondez pas la valeur du taux (ordonnée) avec le nombre de jours (abscisse). Si on vous demande 'combien de jours', la réponse doit être lue sur l'axe horizontal.
2. Précision du calendrier : Quand vous calculez le jour de la semaine, ne comptez pas le jour même de l'injection comme le jour 1. Le 'lendemain' est $J+1$.
3. Unités : Toujours préciser l'unité mentionnée dans l'énoncé (ici 'unités arbitraires' pour le taux et 'jours' pour le temps).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat numérique. Utilisez des phrases types :
« Par lecture graphique, je repère le point le plus haut de la première courbe... »
« Je trace la droite d'équation $y = 800$ et je constate que la courbe est située au-dessus pour $x$ compris entre... »
Une réponse justifiée par une description de la méthode de lecture est toujours mieux valorisée par les correcteurs qu'un chiffre brut.

Conclusion sur l'étude des fonctions

Ce sujet illustre parfaitement l'intérêt des fonctions pour comprendre la santé publique. Il permet d'évaluer votre capacité à extraire des informations d'un document technique, une compétence clé non seulement en mathématiques, mais aussi en SVT et dans la vie citoyenne.