Introduction aux fonctions au Brevet des Collèges
L'exercice 2 du sujet de Brevet 2014 (Zone Asie) est une étude de cas pratique qui lie les mathématiques à la physique acoustique. Le thème central est celui des fonctions, une notion pilier du programme de troisième. Ici, la fonction $f(T) = 20\sqrt{T}$ modélise la fréquence d'une corde de guitare en fonction de sa tension. Comprendre cette relation est essentiel pour réussir non seulement cet exercice, mais aussi pour appréhender la notion de dépendance entre deux variables. Cet exercice mobilise trois compétences majeures : l'extraction d'informations d'un graphique, l'utilisation d'une formule algébrique et l'interprétation de données sous forme de tableau.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'analyse se divise en trois étapes correspondant aux trois questions posées dans le sujet original.
1. Lecture graphique et recherche d'antécédent
La première question demande de déterminer graphiquement la tension $T$ nécessaire pour obtenir la note « La3 ». En consultant le tableau de données fourni, nous identifions que la fréquence du « La3 » est de $440$ Hz. Sur le graphique, l'axe des ordonnées représente la fréquence $f$ et l'axe des abscisses la tension $T$. La méthode consiste à repérer la valeur $440$ sur l'axe vertical, à tracer une ligne horizontale jusqu'à l'intersection avec la courbe (représentée en bleu), puis à redescendre verticalement vers l'axe des abscisses. On observe que l'intersection se situe entre $400$ N et $500$ N, plus précisément aux alentours de $484$ N. Pour l'élève, la difficulté réside dans la précision de la lecture sur un papier millimétré ou un graphique réduit.
2. Calcul d'image et vérification par le tableau
La deuxième question inverse la logique : on donne la tension ($T \approx 220$ N) et on cherche la note. Ici, il faut utiliser l'expression algébrique $f(T) = 20\sqrt{T}$. En remplaçant $T$ par $220$, nous effectuons le calcul suivant : $f(220) = 20 \times \sqrt{220}$. À l'aide d'une calculatrice, $\sqrt{220} \approx 14,83$. Ainsi, $f(220) \approx 20 \times 14,83 = 296,6$. En comparant ce résultat de $296,6$ Hz avec le tableau des fréquences, on constate que la valeur la plus proche est $297$ Hz, ce qui correspond à la note « Ré3 ». Ce passage du calcul à l'interprétation concrète est crucial pour obtenir la totalité des points.
3. Modélisation et limites physiques
La dernière question introduit une contrainte de sécurité : la rupture de la corde à $900$ N. Mathématiquement, cela revient à calculer l'image de la valeur maximale du domaine de définition pratique de la fonction. On calcule $f(900) = 20\sqrt{900}$. Puisque $900$ est un carré parfait ($30^2$), le calcul se simplifie : $f(900) = 20 \times 30 = 600$. La fréquence maximale émise par la corde avant de casser est donc de $600$ Hz. Cet aspect de l'exercice montre comment les fonctions permettent de définir des seuils critiques dans des situations réelles.
Les Pièges à Éviter
Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points lors de l'examen :
- Inversion des axes : Ne pas confondre l'axe des abscisses (tension $T$ en Newtons) et l'axe des ordonnées (fréquence $f$ en Hertz). La lecture graphique demande une rigueur absolue sur ce point.
- Unités manquantes : Dans la réponse finale, l'absence d'unités (N ou Hz) est souvent sanctionnée. Une tension s'exprime en Newtons, une fréquence en Hertz.
- Précision du calcul : Ne pas arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires. Gardez la valeur exacte de la racine carrée sur votre calculatrice avant de multiplier par 20.
- Confusion entre valeur exacte et approchée : Si le résultat n'est pas un nombre entier, utilisez le symbole $\approx$ et précisez l'unité demandée.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour séduire le correcteur, structurez vos réponses clairement. Commencez toujours par citer la formule ou la méthode utilisée : « D'après le graphique... » ou « En utilisant la formule $f(T) = 20\sqrt{T}$... ». Pour la lecture graphique, vous pouvez schématiser vos traits de construction sur votre copie si le sujet le permet, ou expliquer par une phrase simple votre cheminement (ex: « Je repère 440 en ordonnée, je cherche le point de la courbe associé, et je lis l'abscisse correspondante »). Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une fréquence de guitare ne peut pas être de 10 000 Hz dans cet exercice, tout comme une tension ne peut pas être négative.
Approfondissement : Pourquoi une racine carrée ?
D'un point de vue pédagogique, cet exercice illustre la fonction racine carrée. Contrairement à une fonction linéaire (droite passant par l'origine), la fonction $f(T) = 20\sqrt{T}$ croît de moins en moins vite à mesure que la tension augmente. C'est ce qu'on appelle une croissance sous-linéaire. En troisième, bien que l'étude de la fonction racine carrée ne soit pas au cœur du programme comme la fonction affine, savoir manipuler son expression algébrique est une excellente préparation pour la classe de Seconde. Cela permet de comprendre que tous les phénomènes naturels ne suivent pas des variations proportionnelles simples.
Conclusion
En maîtrisant cet exercice du Brevet 2014, vous validez des compétences fondamentales en algèbre et en analyse. La clé de la réussite réside dans la lecture attentive de l'énoncé et la capacité à passer d'un support (graphique) à un autre (formule, tableau). Continuez à vous entraîner avec des sujets similaires pour automatiser ces réflexes et arriver serein le jour de l'examen de mathématiques.