Introduction : Un classique du Brevet pour tester sa polyvalence

Le sujet du Brevet 2014 de la zone Asie propose un exercice 4 particulièrement intéressant sous forme de questions 'Vrai/Faux' justifiées. Ce format est redoutable car il ne demande pas seulement de trouver un résultat, mais de prouver une affirmation ou d'infirmer une proposition par un contre-exemple solide. Cet exercice balaie trois thématiques majeures du programme de troisième : les pourcentages (gestion des tarifs), l'arithmétique (propriétés du PGCD) et le calcul littéral (développement de produits). L'objectif est de vérifier que l'élève maîtrise le passage du langage courant au langage mathématique et qu'il possède la rigueur nécessaire pour justifier chaque étape de son raisonnement.

Analyse Méthodique du Cas 1 : Maîtriser les évolutions en pourcentage

Dans ce premier cas, nous sommes confrontés à une situation de la vie courante : les tarifs d'un cinéma. L'affirmation soutient que les étudiants bénéficient d'une réduction de 30% par rapport au plein tarif. Pour valider ou invalider cette proposition, il existe deux méthodes principales. La première consiste à calculer le montant de la réduction théorique de 30% sur le plein tarif de $9,50~\text{\euro}$. On effectue l'opération : $9,50 \times \frac{30}{100} = 2,85~\text{\euro}$. Ensuite, on soustrait cette réduction au prix initial : $9,50 - 2,85 = 6,65~\text{\euro}$. Comme le tarif étudiant affiché est bien de $6,65~\text{\euro}$, l'affirmation est **Vraie**. Une seconde méthode, plus directe, consiste à calculer le coefficient de réduction : $\frac{6,65}{9,50} = 0,7$. Ce coefficient $0,7$ correspond à $1 - 0,30$, soit une baisse de 30%. La difficulté ici réside dans le choix de la base de calcul : la réduction s'applique toujours sur le prix de référence (le plein tarif) et non sur le prix final.

Analyse Méthodique du Cas 2 : Pièges et propriétés de l'arithmétique

Le deuxième cas porte sur une propriété supposée du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). L'affirmation prétend que pour deux entiers positifs $a$ et $b$ tels que $a > b$, le $PGCD(a ; b)$ est toujours égal à la différence $a - b$. En mathématiques, pour qu'une affirmation soit vraie, elle doit l'être pour TOUS les nombres. Pour prouver qu'elle est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Prenons par exemple $a = 10$ et $b = 4$. On calcule la différence : $10 - 4 = 6$. Cependant, cherchons le $PGCD(10 ; 4)$. Les diviseurs de 10 sont {1, 2, 5, 10} et ceux de 4 sont {1, 2, 4}. Le plus grand diviseur commun est donc 2. Puisque $2 \neq 6$, l'affirmation est **Fausse**. Cet exercice rappelle que si le PGCD est lié à l'algorithme des soustractions successives, il n'est pas égal à la simple différence des deux termes de départ. Une confusion fréquente vient de la propriété $PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a-b)$, qui est radicalement différente de celle proposée.

Analyse Méthodique du Cas 3 : La rigueur du calcul littéral

Le troisième cas nous demande de vérifier le développement d'une expression littérale complexe. L'énoncé définit $A$ comme le produit de la somme de $x$ et de 5 par la différence entre $2x$ et 1. La première étape cruciale est la traduction algébrique : $A = (x + 5)(2x - 1)$. Pour développer cette expression, on utilise la double distributivité : $A = x \times 2x + x \times (-1) + 5 \times 2x + 5 \times (-1)$. En simplifiant, on obtient : $A = 2x^2 - x + 10x - 5$, ce qui donne après réduction $A = 2x^2 + 9x - 5$. L'affirmation est donc **Vraie**. Ce type de question évalue la capacité de l'élève à gérer les signes (le fameux $-1$) et à réduire correctement les termes de même nature (les 'x'). Une erreur de signe sur le dernier terme ($-5$) est le piège le plus classique pour les candidats distraits.

Les Pièges à éviter pour réussir l'exercice

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter cher. Pour les pourcentages, veillez à ne pas calculer 30% du tarif étudiant, mais bien 30% du plein tarif. En arithmétique, ne confondez pas le PGCD avec le résultat d'une soustraction. Enfin, en calcul littéral, la plus grande source d'erreur reste la gestion des parenthèses et des signes négatifs. Lors de la distribution, n'oubliez pas que le terme $(-1)$ multiplie tout ce qui se trouve devant lui. Un autre point de vigilance concerne la rédaction : dire 'c'est vrai' ou 'c'est faux' sans calcul ou contre-exemple ne rapporte aucun point au Brevet. La justification est l'essence même de l'épreuve.

Conseils de Rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en trois temps. 1. Énoncez clairement votre position (Vrai ou Faux). 2. Présentez les calculs intermédiaires ou la propriété mathématique utilisée (ex: 'D'après la double distributivité...'). 3. Concluez en faisant le lien avec l'énoncé. Si vous utilisez un contre-exemple pour infirmer une règle, choisissez des nombres simples pour éviter les erreurs de calcul. Pour le calcul littéral, détaillez chaque étape de développement avant de réduire, cela permet au correcteur de comprendre votre cheminement même si une petite erreur de calcul se glisse dans le résultat final. Une copie propre, où les expressions LaTeX sont bien alignées, donne toujours une meilleure impression au jury.