Introduction aux concepts d'agrandissement et réduction

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges de la zone Asie en 2014, porte sur une notion fondamentale de la géométrie de troisième : l'agrandissement et la réduction de figures planes. L'énoncé nous transporte dans l'univers de la nature avec l'observation des alvéoles de nids d'abeilles, qui sont des structures géométriques fascinantes basées sur l'hexagone régulier. Le but ici est de passer d'une dimension microscopique (3 mm) à une dimension macroscopique exploitable sur une feuille de papier à l'aide d'un rapport de proportionnalité k=10.

Analyse méthodique : De l'observation à la construction

L'exercice nous donne deux informations cruciales : la forme de la figure (un hexagone régulier) et sa dimension initiale (un côté de 3 mm). L'objectif est d'effectuer un agrandissement de rapport 10. Mathématiquement, réaliser un agrandissement de rapport k signifie que toutes les longueurs de la figure initiale sont multipliées par ce coefficient k. Dans notre cas, si on appelle c le côté de l'hexagone original et C' le côté de l'hexagone agrandi, la formule est simple : C' = c × 10. Avec c = 3 mm, nous obtenons C' = 30 mm, soit 3 cm.

Pourquoi choisir l'hexagone régulier ? C'est une figure composée de six côtés de même longueur et dont les six angles intérieurs sont égaux. Une propriété essentielle à retenir pour le Brevet est qu'un hexagone régulier peut être décomposé en six triangles équilatéraux dont le sommet commun est le centre de l'hexagone. Pour la construction demandée, il n'est pas nécessaire de justifier, mais il est impératif de respecter les propriétés de la figure. Puisque le rapport est de 10, le nouvel hexagone aura des côtés de 3 cm. Pour le tracer avec précision, la méthode la plus efficace consiste à tracer un cercle de rayon 3 cm avec un compas, puis à reporter ce même rayon six fois sur le périmètre du cercle. En reliant les points obtenus, on forme un hexagone régulier parfait de côté 3 cm.

Les pièges classiques à éviter lors de l'épreuve

Le premier piège dans ce type d'exercice concerne les unités. Un côté de 3 mm est très petit. Une erreur de lecture pourrait amener l'élève à confondre 3 mm et 3 cm dès le départ. Soyez vigilants sur les ordres de grandeur. Le second piège, plus conceptuel, concerne la différence entre l'agrandissement des longueurs, des aires et des volumes. Si l'exercice avait demandé de calculer l'aire de l'alvéole agrandie, il aurait fallu multiplier l'aire initiale par k² (soit 10² = 100) et non par 10. Heureusement, ici, seule la construction linéaire est demandée. Enfin, attention à la précision du tracé : un rapport 10 transforme une erreur de 0,5 mm sur le petit modèle en une erreur potentiellement visible sur le grand modèle si l'on ne suit pas la méthode du compas.

Conseils de rédaction et de présentation pour le jour J

Même si l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue, la qualité du soin apporté à la figure géométrique est déterminante. Utilisez un crayon de papier bien taillé (type HB ou 2H) pour garantir la finesse des traits. Laissez apparaître les traits de construction au compas (les petits arcs de cercle sur le contour) ; cela montre au correcteur que vous maîtrisez la méthode géométrique rigoureuse et non un simple tracé approximatif à la règle graduée. N'oubliez pas que dans un agrandissement, les angles sont conservés. L'angle entre deux côtés d'un hexagone régulier est de 120 degrés ; si vous utilisez un rapporteur, vérifiez cette valeur pour vous assurer de la régularité de votre figure. En résumé : convertissez bien la longueur (3 mm x 10 = 3 cm), utilisez le compas pour la symétrie parfaite, et soignez la propreté de votre rendu pour obtenir l'intégralité des points sur cet exercice de géométrie pratique.