Introduction aux notions du Brevet 2013

L'exercice 7 du sujet de mathématiques de 2013 pour la zone Métropole est un classique du genre "Vrai/Faux". Ce type d'exercice est redoutable car il ne demande pas seulement de choisir une réponse, mais d'apporter une preuve rigoureuse. Les thématiques abordées ici sont transversales : la conversion des unités de vitesses, la maîtrise du calcul littéral (identités remarquables) et la compréhension fondamentale des indicateurs en statistiques (moyenne et médiane). Maîtriser ces trois piliers est essentiel pour tout élève de 3ème souhaitant obtenir une mention au Brevet des collèges.

Analyse de l'Affirmation 1 : La conversion des vitesses

La première affirmation nous demande de comparer deux grandeurs qui ne sont pas exprimées dans la même unité. D'un côté, nous avons la vitesse d'un coureur en kilomètres par heure ($18 \text{ km/h}$) et de l'autre, une voiture télécommandée en mètres par seconde ($5 \text{ m/s}$).

Pour comparer ces deux vitesses, il est impératif de les convertir dans la même unité. Utilisons la méthode de conversion vers les km/h, qui est souvent la plus parlante pour les élèves. Si un objet parcourt $5 \text{ mètres}$ en $1 \text{ seconde}$, combien parcourt-il en une heure ? Sachant qu'une heure contient $3600 \text{ secondes}$ ($60 \text{ minutes} \times 60 \text{ secondes}$), nous effectuons le calcul suivant : $5 \times 3600 = 18000 \text{ mètres/heure}$. En convertissant $18000 \text{ mètres}$ en kilomètres, nous obtenons $18 \text{ km}$.

Ainsi, la vitesse de la voiture télécommandée est exactement de $18 \text{ km/h}$. L'affirmation prétend que la vitesse du coureur est strictement supérieure. Or, $18$ n'est pas strictement supérieur à $18$, ils sont égaux. Par conséquent, l'affirmation 1 est FAUSSE. Ce raisonnement montre l'importance de ne pas se fier aux apparences numériques ($18$ vs $5$) mais de toujours ramener les données à une base commune.

Analyse de l'Affirmation 2 : Les identités remarquables et le calcul littéral

L'affirmation 2 porte sur une égalité algébrique : $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 25$. Il s'agit ici de tester votre connaissance des identités remarquables, plus précisément la forme $(a - b)^2$.

Rappelons la formule de cours : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Appliquons-la méthodiquement à l'expression donnée en posant $a = 3x$ et $b = 5$ :
1. Le carré du premier terme : $(3x)^2 = 9x^2$.
2. Le double produit : $2 \times 3x \times 5 = 30x$.
3. Le carré du second terme : $5^2 = 25$.
Le développement complet donne donc : $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$.

En comparant ce résultat avec l'affirmation, on constate qu'il manque le terme central $-30x$. L'égalité proposée n'est vraie que pour des valeurs très spécifiques de $x$, mais elle est fausse "pour tout nombre $x$". Un contre-exemple simple permet de le confirmer : si $x = 1$, $(3(1) - 5)^2 = (-2)^2 = 4$, alors que $9(1)^2 - 25 = 9 - 25 = -16$. Comme $4 \neq -16$, l'affirmation 2 est FAUSSE. C'est un piège classique où l'on oublie le double produit.

Analyse de l'Affirmation 3 : Moyenne versus Médiane

La troisième affirmation concerne les statistiques : "la médiane est toujours strictement supérieure à la moyenne". Cette affirmation repose sur une confusion commune entre les deux indicateurs de position.

La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Elle est très sensible aux valeurs extrêmes. La médiane, en revanche, est la valeur qui sépare la série en deux groupes d'effectifs égaux. Il n'existe aucune loi mathématique stipulant que l'une doit être supérieure à l'autre.

Pour prouver que cette affirmation est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. Prenons la série suivante : $\{1, 2, 12\}$.
1. Calcul de la moyenne : $(1 + 2 + 12) / 3 = 15 / 3 = 5$.
2. Détermination de la médiane : La valeur centrale de cette série ordonnée est $2$.
Ici, la médiane ($2$) est inférieure à la moyenne ($5$). L'affirmation qui prétendait que la médiane est toujours supérieure est donc FAUSSE. On pourrait également imaginer une série symétrique où les deux valeurs sont égales.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Dans ce type d'exercice, le piège principal est de répondre sans justifier. Même si votre "Vrai" ou "Faux" est correct, vous n'obtiendrez aucun point sans une démonstration ou un calcul.
Pour les vitesses, n'oubliez jamais que $1 \text{ m/s} = 3,6 \text{ km/h}$. C'est un coefficient de conversion magique à retenir !
En calcul littéral, la confusion entre $(a-b)^2$ et $a^2 - b^2$ est l'erreur numéro 1 des élèves de 3ème.
Enfin, en statistiques, rappelez-vous que la médiane est une valeur de position alors que la moyenne est une valeur de calcul global.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour chaque affirmation, structurez votre réponse en trois étapes :
1. **Annonce** : Indiquez si vous pensez que c'est vrai ou faux (facultatif au début, mais conseillé à la fin).
2. **Calcul ou Argument** : Posez proprement vos opérations au brouillon puis recopiez-les (ex: développement de l'identité remarquable ou calcul de la vitesse).
3. **Conclusion** : Concluez clairement par une phrase type : "L'affirmation est donc fausse car...". Utilisez un vocabulaire précis : "double produit", "facteur", "série ordonnée", "coefficient de proportionnalité". Une copie propre et bien argumentée rassure le correcteur sur votre maîtrise du programme.