Introduction aux notions de Géométrie et de Calcul Numérique

L'exercice 2 du Brevet de mathématiques de Polynésie 2013 est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine habilement deux domaines majeurs du programme : la géométrie dans l'espace (calcul de volumes de cylindres) et le calcul numérique (manipulation des fractions et des proportions). L'objectif est de modéliser une situation réelle, en l'occurrence une pièce montée de mariage, à l'aide d'objets mathématiques rigoureux. Ce type d'exercice permet de vérifier si l'élève est capable de passer d'un énoncé textuel à une résolution algébrique structurée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé présente une pièce montée composée de trois cylindres superposés. Chaque cylindre possède des caractéristiques propres (rayon et hauteur) qui sont liées entre elles par des rapports de proportionnalité.

1. Calcul du rayon du gâteau n°2 : Maîtriser les fractions

La première question demande de montrer que le rayon du gâteau n°2 est de $20$ cm. Pour réussir cela, il faut traduire l'énoncé : le rayon du gâteau n°2 est égal aux $2/3$ de celui du gâteau n°1. Sachant que le rayon du gâteau n°1 est de $30$ cm, l'opération à effectuer est : $30 \times \frac{2}{3}$. Pédagogiquement, il est important de rappeler que multiplier par une fraction revient à multiplier par le numérateur puis diviser par le dénominateur (ou l'inverse). Ici, $(30 \div 3) \times 2 = 10 \times 2 = 20$ cm. La démonstration est simple mais doit être rédigée clairement sur la copie.

2. Détermination du rayon du gâteau n°3

Ici, on applique la même logique mais en cascade. Le rayon du gâteau n°3 est égal aux $3/4$ de celui du gâteau n°2 (que nous venons de calculer). L'élève doit donc calculer $20 \times \frac{3}{4}$. En décomposant l'opération, on obtient $(20 \div 4) \times 3 = 5 \times 3 = 15$ cm. Cette étape est cruciale car une erreur ici fausserait l'intégralité du calcul de volume de la question suivante.

3. Calcul du volume total exact : L'importance de $\pi$

Cette question est le cœur de l'exercice. Elle demande de calculer le volume total de la pièce montée. Il faut sommer les volumes des trois cylindres : $V_{total} = V_1 + V_2 + V_3$. La formule du volume d'un cylindre est rappelée : $V = \pi \times R^2 \times h$.
Pour le gâteau n°1 : $V_1 = \pi \times 30^2 \times 10 = \pi \times 900 \times 10 = 9000\pi$ cm$^3$.
Pour le gâteau n°2 : $V_2 = \pi \times 20^2 \times 10 = \pi \times 400 \times 10 = 4000\pi$ cm$^3$.
Pour le gâteau n°3 : $V_3 = \pi \times 15^2 \times 10 = \pi \times 225 \times 10 = 2250\pi$ cm$^3$.
En additionnant ces trois résultats : $9000\pi + 4000\pi + 2250\pi = 15250\pi$ cm$^3$.
L'erreur classique ici serait de remplacer $\pi$ par $3,14$ trop tôt. L'énoncé demande la valeur exacte, ce qui signifie que le symbole $\pi$ doit rester dans le résultat final.

4. Proportion et fraction irréductible

La dernière question demande quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n°2. On cherche le rapport $\frac{V_2}{V_{total}}$. En remplaçant par les valeurs trouvées : $\frac{4000\pi}{15250\pi}$. Les $\pi$ s'annulent (se simplifient), ce qui est un excellent indicateur de la cohérence du raisonnement. On obtient $\frac{4000}{15250}$. Pour rendre cette fraction irréductible, on peut diviser par $10$, puis par $5$, puis par $25$ selon les étapes de simplification. Après calcul, on arrive à la fraction $\frac{16}{61}$.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas oublier le carré dans la formule du volume ($R^2$). C'est l'erreur la plus fréquente en 3ème. Un autre piège réside dans les unités : assurez-vous que toutes les longueurs sont en cm pour obtenir un volume en cm$^3$. Enfin, l'énoncé précise que la figure n'est pas à l'échelle ; ne tentez jamais de mesurer les dimensions à la règle !

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez la formule utilisée avant de faire le calcul.
2. Présentez vos étapes de calcul de fractions de manière détaillée.
3. Précisez l'unité dans votre phrase de conclusion (cm$^3$).
4. Soulignez vos résultats finaux pour faciliter la correction.