Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du Brevet des collèges de la zone Asie 2013 est un modèle de polyvalence. Il combine deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : la trigonométrie dans le triangle rectangle et l'analyse de données statistiques. L'objectif pédagogique est double : d'une part, mobiliser des outils géométriques pour résoudre une situation concrète (le jeu de fléchettes) et d'autre part, manipuler des séries de données pour en extraire des indicateurs de position comme la moyenne et la médiane.

Analyse Méthodique de la Partie 1 : La Trigonométrie

La première partie nous place dans un triangle rectangle formé par le mur, le sol et la ligne de visée du joueur. Le point $C$ représente le centre de la cible, $M$ le pied du mur, et $P$ la position des pieds du joueur au sol. On nous donne la hauteur $MC = 1,73$ m et l'angle $\widehat{MPC} = 36,1^\circ$. Le mur étant perpendiculaire au sol, le triangle $CMP$ est rectangle en $M$.

Pour déterminer si la sonnerie se déclenche, nous devons calculer la distance $MP$. Dans le triangle $CMP$ rectangle en $M$, nous connaissons l'angle opposé à $MC$ et nous cherchons le côté adjacent $MP$. La formule de la tangente est ici l'outil idéal : $\tan(\widehat{MPC}) = \frac{MC}{MP}$. En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons $\tan(36,1^\circ) = \frac{1,73}{MP}$. Par un produit en croix, on en déduit que $MP = \frac{1,73}{\tan(36,1^\circ)}$. À la calculatrice, $\tan(36,1^\circ) \approx 0,729$. Ainsi, $MP \approx 2,373$ m. Puisque la distance mesurée ($2,373$ m) est supérieure à la distance minimale réglementaire de $2,37$ m, la sonnerie ne se déclenchera pas. L'élève doit être extrêmement vigilant sur l'arrondi et l'unité utilisée.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Les Statistiques

La seconde partie traite de la performance des joueurs Rémi et Nadia sur 7 parties. C'est l'occasion de réviser trois concepts fondamentaux :

Calcul de la Moyenne

La moyenne de Rémi se calcule en additionnant tous ses scores et en divisant par le nombre total de parties : $(40 + 35 + 85 + 67 + 28 + 74 + 28) / 7$. La somme totale est de $357$, donc la moyenne est de $51$ points. C'est un indicateur global de performance.

Retrouver une valeur manquante

Pour Nadia, on connaît la moyenne ($51$) mais il manque le score de la partie 6. La formule de la moyenne devient une équation : $\frac{12 + 62 + 7 + 100 + 81 + x + 30}{7} = 51$. En multipliant par $7$ des deux côtés, on a $292 + x = 357$, d'où $x = 357 - 292 = 65$. Nadia a donc marqué $65$ points lors de sa sixième partie.

Détermination de la Médiane

La médiane nécessite impérativement de ranger les séries par ordre croissant. Pour Rémi : $28 ; 28 ; 35 ; 40 ; 67 ; 74 ; 85$. La série comporte $7$ valeurs (nombre impair), la médiane est donc la $4^{ème}$ valeur, soit $40$. Pour Nadia : $7 ; 12 ; 30 ; 62 ; 65 ; 81 ; 100$. La médiane est $62$. On remarque que bien qu'ils aient la même moyenne, Nadia a une médiane beaucoup plus élevée, ce qui montre une répartition des scores différente.

Les Pièges à éviter

1. Le mode de la calculatrice : En trigonométrie, vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode 'Degré' (DEG) et non en 'Radian' ou 'Grade'.
2. L'ordre pour la médiane : Ne calculez jamais la médiane sans avoir trié les chiffres. C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet.
3. La précision : Dans la question 1, une erreur d'arrondi trop précoce peut conduire à conclure à tort que la sonnerie sonne.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours le triangle et précisez qu'il est rectangle avant d'utiliser la trigonométrie.
- Énoncez clairement la formule littérale avant de passer aux chiffres.
- Pour les statistiques, montrez bien l'étape du rangement croissant pour la médiane, cela prouve votre maîtrise de la définition.