Introduction : L'épreuve de mathématiques de Polynésie 2013

L'exercice 7 du sujet de Brevet 2013 en Polynésie est une étude de cas emblématique qui mélange l'exploitation de données textuelles, l'analyse de graphiques (croquis) et l'application d'un théorème géométrique fondamental. Cet exercice est classé sous le tag 'Prise d'initiatives' car il ne donne pas de consignes intermédiaires : c'est à l'élève de construire sa propre stratégie de résolution en extrayant les informations pertinentes de deux documents distincts.

Analyse du Document 1 : Extraction des données sur Moana

La première étape cruciale pour réussir cet exercice consiste à lire correctement le tableau fourni dans le document 1. Ce document présente une liste d'élèves avec des informations biométriques et sportives. L'énoncé précise que le tiki représente Moana. En parcourant la cinquième ligne du tableau, nous identifions les données suivantes :
- Taille de Moana : $1,80$ m.
- Nombre de pas réalisés sur $100$ m : $111$ pas.

Bien que le nombre de pas puisse sembler accessoire au premier abord, il définit l'unité de mesure utilisée dans le croquis du Document 2. La prise d'initiative commence ici : comprendre que la distance sur le sol est exprimée en 'pas de Moana'. On peut calculer la longueur d'un pas : $L_{pas} = \frac{100}{111} \approx 0,90$ mètre, mais nous verrons que l'utilisation des proportions (Thalès) permet de simplifier ce calcul par la suite.

Analyse du Document 2 : Modélisation géométrique

Le document 2 est un croquis représentant la situation physique. On y voit un cocotier, Moana (le Tiki) et une série de noix de coco posées au sol. L'énoncé indique que Moana s'est placé au niveau de la 7ème noix de coco. En observant attentivement le dessin, on remarque que l'ombre du cocotier (ou la ligne de visée passant par le sommet de l'arbre et la tête de Moana) atteint le sol au niveau de la 10ème noix de coco.

Pour appliquer le théorème de Thalès, nous devons modéliser cette situation par des triangles. Soit :
- $S$ le point au sol représentant le bout de l'ombre (la 10ème noix de coco).
- $O$ le pied du cocotier.
- $A$ le sommet du cocotier.
- $M$ le point au sol où se trouve Moana (la 7ème noix de coco).
- $T$ le sommet de la tête de Moana.

Nous sommes en présence de deux triangles emboîtés : $SMT$ et $SOA$. Les conditions d'application de Thalès sont réunies : les points $S, M, O$ sont alignés d'une part, et $S, T, A$ d'autre part. Surtout, le cocotier et Moana sont tous deux supposés verticaux, donc perpendiculaires au sol. Par conséquent, les droites $(MT)$ et $(OA)$ sont parallèles.

Application du Théorème de Thalès et calcul

D'après le théorème de Thalès, nous pouvons établir l'égalité des rapports suivants :
$$\frac{SM}{SO} = \frac{ST}{SA} = \frac{MT}{OA}$$

Déterminons les distances en 'unités de pas' :
1. La distance $SO$ (du pied de l'arbre au bout de l'ombre) correspond à $10$ pas (car il y a 10 noix de coco depuis l'arbre).
2. La distance $SM$ (de Moana au bout de l'ombre) est la différence entre la 10ème et la 7ème noix de coco, soit $10 - 7 = 3$ pas.
3. La hauteur $MT$ de Moana est de $1,80$ m d'après le document 1.

En isolant le rapport qui nous intéresse pour trouver la hauteur du cocotier ($OA$) :
$$\frac{3}{10} = \frac{1,80}{OA}$$

Par un produit en croix simple, nous obtenons :
$OA = \frac{10 \times 1,80}{3}$
$OA = \frac{18}{3}$
$OA = 6$ mètres.

La hauteur du cocotier est donc de $6$ mètres. Ce résultat est cohérent avec la réalité physique d'un arbre tropical et valide notre interprétation du croquis.

Les pièges classiques et conseils de rédaction

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de prendre $7$ comme valeur pour le petit côté du triangle ($SM$). Or, $7$ est la distance entre le cocotier et Moana ($OM$). Le sommet commun des triangles est le point $S$ (bout de l'ombre), il faut donc bien calculer la distance depuis ce point.

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez vos sources : 'D'après le tableau du document 1, Moana mesure $1,80$ m'.
2. Justifiez le parallélisme : 'Le cocotier et Moana sont perpendiculaires au sol, donc les droites sont parallèles'.
3. Énoncez le théorème : Nommez clairement le Théorème de Thalès avant d'écrire les rapports.
4. Concluez par une phrase : Ne laissez pas le résultat sous forme de chiffre brut, précisez l'unité (mètres).

Pourquoi cet exercice est-il une excellente révision ?

Il force l'élève à ne pas attendre une question directe. La mention 'toute démarche même non aboutie sera prise en compte' encourage à poser ses calculs. En travaillant cet exercice, vous renforcez votre capacité à lier géométrie et lecture de données, une compétence indispensable pour le lycée.