Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2013 (Zone Amérique du Sud) est un cas d'école incontournable pour les élèves de 3ème. Il combine avec habileté plusieurs notions clés du cycle 4 : les aires et périmètres, le théorème de Pythagore (et sa réciproque), ainsi que la proportionnalité appliquée à un contexte de la vie réelle. Ce type d'exercice, dit 'problème à tâches complexes', demande une lecture attentive des énoncés et une capacité à segmenter un problème global en plusieurs étapes logiques. Dans cet exercice, nous aidons Jean-Michel à calculer les dimensions et les coûts liés à l'agrandissement de son champ. C'est l'occasion idéale pour réviser la structure d'une démonstration géométrique rigoureuse.

Analyse de la Question 1 : Maîtrise des périmètres et déduction de longueurs

La première partie de l'exercice teste votre compréhension de la définition d'un périmètre. Rappelons que le périmètre est la somme des longueurs des côtés bordant une figure plane. Ici, on nous donne le périmètre total des triangles $ABC$ et $ADC$, ainsi que certaines de leurs mesures. Pour justifier que $AB = 33$ m, l'élève doit poser l'équation suivante : $Péri(ABC) = AB + BC + AC$. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient $154 = AB + 56 + 65$, soit $154 = AB + 121$. La soustraction $154 - 121$ confirme bien que $AB = 33$ m. Le même raisonnement s'applique pour $DC$ dans le triangle $ADC$ : $144 = AD + DC + AC$, soit $144 = 16 + DC + 65$, ce qui donne $DC = 144 - 81 = 63$ m.

Pour la question 1.b, le calcul du périmètre du quadrilatère $ABCD$ nécessite une attention particulière : le segment $[AC]$ est une diagonale interne. Par définition, le périmètre d'un quadrilatère ne comprend que ses bords extérieurs. Ainsi, $Péri(ABCD) = AB + BC + CD + DA$. En utilisant les résultats précédents, on calcule $33 + 56 + 63 + 16 = 168$ m. L'erreur classique ici serait d'inclure la longueur $AC$, ce qui fausserait totalement le résultat final.

Question 2 : Démontrer qu'un triangle est rectangle (Réciproque de Pythagore)

Démontrer qu'un triangle est rectangle est une compétence de base du Brevet. Pour le triangle $ADC$, nous connaissons les trois côtés : $AD = 16$ m, $DC = 63$ m et $AC = 65$ m. Le côté le plus long est $[AC]$. Nous devons tester l'égalité de Pythagore. Calculons d'une part le carré de l'hypoténuse potentielle : $AC^2 = 65^2 = 4225$. D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $AD^2 + DC^2 = 16^2 + 63^2 = 256 + 3969 = 4225$. On constate que $AC^2 = AD^2 + DC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADC$ est donc rectangle en $D$. Cette étape est cruciale car elle permet d'utiliser les formules de calcul d'aire par la suite.

Question 3 : Calcul de l'aire totale du champ par décomposition

L'aire du quadrilatère $ABCD$ ne peut pas être calculée directement par une formule unique (ce n'est ni un rectangle, ni un trapèze classique). La stratégie consiste à sommer l'aire des deux triangles qui le composent : $ABC$ et $ADC$. L'énoncé nous indique que $ABC$ est rectangle en $B$. L'aire d'un triangle rectangle est égale au demi-produit des côtés de l'angle droit. Pour $ABC$ : $Aire = (AB \times BC) / 2 = (33 \times 56) / 2 = 1848 / 2 = 924$ m². Pour $ADC$ (dont nous avons prouvé qu'il est rectangle en $D$) : $Aire = (AD \times DC) / 2 = (16 \times 63) / 2 = 1008 / 2 = 504$ m². L'aire totale du champ de Jean-Michel est donc de $924 + 504 = 1428$ m². N'oubliez jamais de préciser l'unité (m²) pour ne pas perdre de points de rédaction.

Question 4 : Proportionnalité et gestion du budget

La dernière question fait appel à la proportionnalité simple. Jean-Michel achète du grillage à 0,85 € le mètre linéaire. Le périmètre à clôturer a été calculé à la question 1.b, soit 168 mètres. Le calcul est direct : $168 \times 0,85$. En effectuant l'opération, on trouve un coût total de 142,80 €. Ce type de question 'concrète' est systématiquement présent dans les nouveaux sujets de Brevet pour évaluer la capacité de l'élève à transférer ses connaissances mathématiques dans une situation du quotidien.

Les pièges à éviter et conseils de rédaction

Pour briller lors de l'épreuve de mathématiques, plusieurs points de vigilance sont à noter sur cet exercice. Premièrement, la confusion entre aire et périmètre est la cause de nombreux échecs. Le périmètre est une longueur (m), l'aire est une surface (m²). Deuxièmement, lors de l'application de la réciproque de Pythagore, ne commencez jamais votre rédaction par 'D'après le théorème de Pythagore'. Vous ne savez pas encore que le triangle est rectangle ! Il faut calculer les carrés séparément, comparer les résultats, puis conclure avec le nom exact du théorème. Enfin, soignez la présentation : soulignez vos résultats et citez les données de l'énoncé pour chaque calcul.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est-il un bon entraînement ?

Cet exercice de 2013 reste parfaitement d'actualité. Il couvre une large partie du programme de géométrie plane et de calcul numérique. En maîtrisant cet exercice, vous validez vos compétences sur les propriétés des triangles, l'utilisation rigoureuse des théorèmes et la lecture de documents (l'annonce du grillage). C'est un excellent test pour vérifier si vous possédez les automatismes nécessaires pour l'épreuve finale du Brevet des collèges.