Introduction aux Probabilités et à l'Usage du Tableur au Brevet

Cet exercice, issu de la session 2013 du Brevet en Polynésie, est un cas d'école pour les élèves de 3ème. Il combine trois piliers du programme de mathématiques : les probabilités, les statistiques et l'utilisation d'un tableur. L'objectif est de comprendre comment une simulation numérique peut modéliser une expérience aléatoire physique. L'expérience consiste à tirer une boule noire et une boule blanche, chacune numérotée, et d'en calculer la somme. C'est un exercice typique de calcul de probabilités avec deux épreuves indépendantes successives, où l'on analyse l'espace des possibles via des fréquences observées.

Analyse de la Simulation Tableur (Question 1)

Dans la première partie, on nous présente un tableau de 6 expériences simulées. L'analyse commence par la compréhension de la structure de la feuille de calcul. Lorsqu'on demande de décrire l'expérience n°3 (ligne 4 du tableau), il s'agit de lire les données brutes : la boule noire tirée porte le numéro 2 (cellule B4) et la boule blanche porte le numéro 3 (cellule C4). La somme obtenue est donc 5 (cellule D4). Cette lecture directe est essentielle pour s'approprier le contexte.

Concernant la formule tableur en D5, c'est un point de passage obligatoire au Brevet. Une formule commence toujours par le signe egal (=). Pour calculer une somme entre deux cellules adjacentes, on additionne les références des cellules. En D5, on veut la somme de B5 et C5. La réponse attendue est donc =B5+C5. Notez que =SOMME(D5) est syntaxiquement incorrect ou inutile ici, car on cherche à additionner deux sources différentes.

Raisonnement Mathématique sur les Sommes Possibles

L'exercice bascule ensuite sur le raisonnement logique. Peut-on obtenir la somme 2 ? Pour répondre, il faut identifier les valeurs minimales. La plus petite boule noire est le n°1 et la plus petite blanche est le n°2. La somme minimale est donc $1+2=3$. Par conséquent, obtenir 2 est impossible. Ce type de justification par l'étude des bornes est très apprécié des correcteurs.

Pour la somme 4, il faut lister les couples $(n; b)$ où $n$ est le numéro de la boule noire et $b$ celui de la blanche. Les combinaisons sont : $(1 ; 3)$ et $(2 ; 2)$. Enfin, pour la plus grande somme, on prend les maximums : boule noire 4 et boule blanche 5, soit $4+5=9$. Cette démarche systématique évite d'oublier des cas et montre une maîtrise de l'énumération des issues.

Interprétation Statistique et Loi des Grands Nombres (Question 2)

La seconde partie introduit la notion de fréquence sur de grands échantillons (50, 1000, 5000 tirages). La fréquence est le rapport entre l'effectif d'une valeur et l'effectif total. Pour la somme 9 sur 50 expériences, on regarde la cellule I2 (somme 9) et J2 (total). Si l'effectif pour 9 est 2 et le total est 50, la fréquence est $\frac{2}{50} = 0,04$. Justifier par le calcul littéral $f = \frac{n}{N}$ est crucial.

La formule en B7 pour la fréquence de la somme 3 (sur 1000 expériences) doit être automatisable. On divise l'effectif (cellule B6) par le total (cellule I6). La formule est donc =B6/I6. Attention à bien utiliser les références de cellules et non les valeurs numériques pour permettre la recopie incrémentale.

Estimation de la Probabilité

C'est ici qu'intervient le lien entre statistiques et probabilités. Plus le nombre d'expériences augmente (de 50 à 5000), plus la fréquence observée se stabilise vers une valeur théorique : c'est la Loi des Grands Nombres. Pour estimer la probabilité d'obtenir la somme 3, on regarde la fréquence obtenue avec le plus grand échantillon (5000 tirages). Dans le tableau, pour la somme 3 à 5000 tirages, la fréquence est de $0,081$. On peut donc estimer la probabilité théorique à environ $0,08$ (soit $\frac{1}{12}$). En effet, il y a 12 issues possibles au total ($4 \times 3$), et une seule donne la somme 3 : le couple $(1 ; 2)$. La probabilité réelle est donc $\frac{1}{12} \approx 0,0833$. L'estimation statistique de $0,081$ est extrêmement proche !

Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

1. **Syntaxe Tableur** : N'oubliez jamais le signe '=' devant vos formules. Sans lui, le tableur affiche du texte et non un résultat.
2. **Précision des termes** : Ne confondez pas 'effectif' (le nombre de fois où c'est arrivé) et 'fréquence' (la proportion par rapport au total).
3. **Justification** : Pour les questions de probabilité, listez toujours l'univers des possibles ou montrez vos calculs de fractions. Une réponse brute sans calcul comme '0,04' pour la fréquence pourrait ne pas rapporter tous les points sans la mention de $\frac{2}{50}$.
4. **Lecture de tableau** : Soyez vigilant sur les lignes. Entre la ligne 6 (1000 tirages) et la ligne 10 (5000 tirages), l'erreur d'inattention est vite arrivée.