Introduction aux probabilités et à la géométrie du Brevet

Cet exercice issu de l'épreuve du Brevet des Collèges 2013 (Sujet Amérique du Sud) constitue un excellent support de révision transversal. Il combine deux piliers du programme de troisième : les probabilités et la géométrie plane (spécifiquement les propriétés des quadrilatères particuliers). L'objectif est double : tester la capacité de l'élève à dénombrer des événements dans une situation d'équiprobabilité et vérifier la maîtrise des définitions géométriques fondamentales (parallélogrammes, rectangles, losanges et carrés).

Analyse méthodique de l'exercice

L'exercice repose sur un sac contenant 10 étiquettes distinctes. Puisqu'elles sont identiques au toucher et mélangées, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Chaque étiquette a une probabilité de $1/10$ d'être tirée.

Question 1 : Maîtrise du dénombrement

Pour la question 1.a, il n'y a qu'une seule étiquette portant l'inscription exacte « Diagonales égales ». La probabilité est donc $P = \frac{1}{10} = 0,1$.

Pour la question 1.b, l'élève doit scanner l'ensemble des dix propositions. Le mot « diagonales » apparaît sur trois étiquettes : « Diagonales égales », « Diagonales qui se coupent en leur milieu » et « Diagonales perpendiculaires ». La probabilité est donc de $3/10$. Attention à ne pas en oublier une en lisant trop vite le tableau !

La question 1.c est une question de logique. En observant attentivement les dix étiquettes, on remarque qu'aucune ne contient à la fois le mot « côtés » et le mot « diagonales ». Il s'agit d'un événement impossible. La probabilité est donc égale à 0.

Question 2 : Le raisonnement géométrique et les quadrilatères

Ici, on quitte le calcul pour entrer dans la déduction pure. Julie affirme que « Diagonales perpendiculaires » + « Diagonales égales » implique toujours un carré. C'est l'un des pièges classiques du programme de 3ème. Madjid a raison de douter : pour obtenir un carré, il faut que les diagonales soient perpendiculaires, égales ET se coupent en leur milieu. Sans cette dernière condition, on peut dessiner un quadrilatère quelconque (ou un cerf-volant spécifique) qui ne sera pas un parallélogramme, et donc pas un carré.

Dans la question 2.b, Julie tire « Côtés opposés parallèles » et « Quatre côtés égaux ». Par définition, un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme. Si, en plus, il possède quatre côtés égaux, c'est la définition même du losange. Julie est donc certaine d'obtenir un losange.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Le principal piège de cet exercice réside dans la confusion entre les propriétés nécessaires et les propriétés suffisantes.
1. Confusion Rectangle/Carré : Rappelez-vous qu'un rectangle a des diagonales égales, mais pas forcément perpendiculaires.
2. Le Losange : Un losange a des diagonales perpendiculaires, mais pas forcément égales.
3. Le Carré : C'est le « super-quadrilatère » qui cumule les propriétés du rectangle et du losange.

Un autre point de vigilance concerne la lecture des étiquettes : le mot « seulement » dans « Deux angles droits seulement » exclut d'office le rectangle qui en possède quatre.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour la partie probabilités, commencez toujours par une phrase précisant la situation : « Il y a 10 étiquettes au total, le tirage est donc équiprobable. » Donnez vos résultats sous forme de fraction simplifiée ou de nombre décimal.

Pour la géométrie, utilisez des connecteurs logiques : « Or, nous savons que... », « Donc... ». Pour la question 3 de Lionel, expliquez que si un quadrilatère possède 4 angles droits, c'est un rectangle. Par conséquent, ses côtés opposés sont égaux deux à deux. Il est alors impossible qu'il n'ait que « deux côtés égaux seulement ». Les propriétés sont contradictoires. C'est cette rigueur dans l'argumentation qui fera la différence sur votre copie de Brevet.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est essentiel

Cet exercice 5 du sujet Amérique du Sud 2013 est un modèle du genre car il ne demande pas de calculs complexes mais une lecture attentive et une connaissance parfaite du cours. Il prépare idéalement à l'esprit du nouveau Brevet qui privilégie la prise d'initiative et le raisonnement plutôt que l'application mécanique de formules.