Introduction aux Probabilités et Statistiques au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2013 (Étrangers) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine habilement deux notions piliers du programme : les probabilités (approche théorique) et les statistiques (approche fréquentielle). Cet exercice permet de vérifier si l'élève est capable de faire la distinction entre ce que l'on peut prévoir par le calcul théorique et ce que l'on observe lors d'une expérience concrète répétée un nombre fini de fois. La maîtrise de ces concepts est essentielle, car ils représentent souvent une part significative des points lors de l'examen final.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Dans cet exercice, l'expérience aléatoire consiste à tirer une carte d'un jeu de 32 cartes, à noter sa famille, puis à la remettre dans le jeu. Le fait de remettre la carte assure que les conditions de l'expérience restent identiques à chaque tirage : c'est ce qu'on appelle des tirages indépendants.

Question 1 : Calcul de la probabilité théorique

L'évènement $A$ est défini par : « la carte tirée est un trèfle ». Pour calculer cette probabilité, nous utilisons la loi d'équiprobabilité. Le jeu contient un total de $32$ cartes, ce qui constitue l'ensemble des issues possibles. Le nombre d'issues favorables à l'évènement $A$ est de $8$ (puisqu'il y a $8$ trèfles).

La formule à appliquer est : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, nous obtenons : $P(A) = \frac{8}{32}$. Il est impératif de simplifier cette fraction pour la présentation finale. En divisant le numérateur et le dénominateur par $8$, on trouve $P(A) = \frac{1}{4}$, soit $0,25$ ou $25\%$. Ce résultat signifie que théoriquement, on a une chance sur quatre de tirer un trèfle.

Question 2 : Analyse statistique et fréquences

La deuxième partie de l'exercice nous fait passer de la théorie à la pratique. On effectue $24$ tirages successifs. Le graphique à barres (ou diagramme en bâtons) nous donne la répartition des résultats obtenus. Pour répondre à la question, il faut d'abord lire correctement les effectifs sur l'axe des ordonnées :

• Nombre de cœurs tirés : $6$
• Nombre de trèfles tirés : $8$
• Nombre de carreaux tirés : $3$
• Nombre de piques tirés : $7$

On vérifie que la somme des effectifs est bien de $6 + 8 + 3 + 7 = 24$. Pour calculer la fréquence, on applique la formule : $f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$.

Pour la famille « cœur », la fréquence est $f_{\text{cœur}} = \frac{6}{24}$. Après simplification par $6$, on obtient $f_{\text{cœur}} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Pour la famille « trèfle », la fréquence est $f_{\text{trèfle}} = \frac{8}{24}$. Après simplification par $8$, on obtient $f_{\text{trèfle}} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.

Question 3 : Comparaison des chances de gagner

Cette question est cruciale car elle teste la compréhension profonde de l'aléatoire. Arthur mise sur le cœur et Julie sur le trèfle. L'énoncé demande si l'un a plus de chance que l'autre de gagner lors d'un nouveau tirage.

L'erreur classique serait de se baser sur les résultats des $24$ premiers tirages. Cependant, le tirage d'une carte est une expérience dont les probabilités théoriques ne changent pas, peu importe les résultats précédents (puisqu'il y a remise). La probabilité de tirer un cœur est de $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ et la probabilité de tirer un trèfle est également de $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Conclusion : Arthur et Julie ont exactement la même probabilité de gagner, soit $25\%$ chacun. Les fréquences observées lors des tirages précédents (où le trèfle est sorti plus souvent que le cœur) n'influencent en rien les probabilités du tirage suivant.

Les Pièges à Éviter

1. Confusion entre Fréquence et Probabilité : La fréquence est ce que l'on observe sur un échantillon (ici $24$ tirages), tandis que la probabilité est une valeur théorique idéale. Ne confondez pas les données du graphique avec les probabilités intrinsèques du jeu de cartes.
2. Oubli de la remise : Si l'on ne remettait pas la carte, les probabilités changeraient à chaque tour. Ici, l'expression « on remet la carte dans le jeu » est la clé pour affirmer que les probabilités restent constantes.
3. Erreur de lecture de l'échelle : Sur le graphique, vérifiez bien les graduations de l'axe vertical pour ne pas vous tromper d'une unité lors de la lecture des effectifs.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation :
- Citez toujours la formule utilisée avant d'effectuer l'application numérique.
- Simplifiez systématiquement vos fractions. Une réponse sous forme de fraction irréductible ($\frac{1}{4}$ au lieu de $\frac{8}{32}$) est toujours mieux valorisée.
- Pour la question 3, rédigez une phrase complète expliquant que l'expérience est aléatoire et que la composition du jeu n'ayant pas changé, les probabilités restent identiques pour chaque couleur. Mentionnez que le hasard n'a pas de mémoire.