Introduction aux notions de Géométrie Plane et Trigonométrie

L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet 2013 (Zone Métropole) est un cas d'école particulièrement riche. Il ne se contente pas d'évaluer une seule compétence, mais balaie un large spectre de la géométrie plane enseignée au collège. À travers trois figures distinctes, l'élève doit mobiliser ses connaissances sur la trigonométrie dans le triangle rectangle, les propriétés des cercles (angle inscrit et diamètre) ainsi que les spécificités des polygones réguliers. Ce type d'exercice est idéal pour tester la flexibilité mentale d'un candidat, car il impose de changer de référentiel théorique à chaque figure.

Analyse Méthodique de la Figure 1 : Le Triangle Rectangle et le Sinus

La première figure nous présente un triangle ABC. Le codage indique clairement un angle droit en A, faisant de ABC un triangle rectangle. Pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, nous devons observer les données fournies : la longueur du côté opposé à l'angle, AC = 3 cm, et la longueur de l'hypoténuse, BC = 6 cm. Dans le cadre de la trigonométrie, le rapport qui lie le côté opposé et l'hypoténuse est le sinus. La formule à appliquer est : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC}$. En remplaçant par les valeurs, nous obtenons $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{3}{6} = 0,5$. En utilisant la touche 'arcsin' ou 'sin-1' de la calculatrice, on trouve que l'angle mesure exactement 30 degrés. C'est un résultat remarquable : dans un triangle rectangle, si le côté opposé est la moitié de l'hypoténuse, l'angle est de 30°.

Analyse Méthodique de la Figure 2 : Cercle et Angles dans le Triangle

La deuxième figure fait intervenir un cercle de centre O dont [AB] est le diamètre. Le point C appartient au cercle. Un théorème fondamental de la géométrie de 3ème stipule que si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle. Ainsi, le triangle ABC est rectangle en C. On nous donne $\widehat{OAC} = 59^\circ$, ce qui revient à dire $\widehat{BAC} = 59^\circ$. Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est égale à 90°. Par conséquent, la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ se calcule simplement : $90 - 59 = 31^\circ$. Une autre méthode consiste à remarquer que le triangle OAC est isocèle en O (OA et OC sont des rayons). Les angles à la base sont égaux, donc $\widehat{OCA} = 59^\circ$. L'angle au centre $\widehat{AOC}$ vaut $180 - (59+59) = 62^\circ$. Par la propriété de l'angle inscrit, l'angle $\widehat{ABC}$ qui intercepte le même arc AC que l'angle au centre $\widehat{AOC}$ mesure la moitié de celui-ci : $62 / 2 = 31^\circ$.

Analyse Méthodique de la Figure 3 : Le Pentagone Régulier

La troisième figure nous montre un pentagone régulier ABCDE inscrit dans un cercle de centre O. La régularité du polygone implique que tous les angles au centre formés par deux sommets consécutifs sont égaux. Puisqu'il y a 5 sommets, chaque angle au centre (comme $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOC}$) mesure $360 / 5 = 72^\circ$. Considérons le triangle OAB. Il est isocèle en O (OA=OB). La somme des angles d'un triangle étant 180°, les angles à la base $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$ mesurent $(180 - 72) / 2 = 54^\circ$. Le même raisonnement s'applique au triangle OBC, qui est parfaitement identique à OAB par rotation. Ainsi, $\widehat{OBC} = 54^\circ$. L'angle total $\widehat{ABC}$ est la somme des angles $\widehat{ABO}$ et $\widehat{OBC}$, soit $54 + 54 = 108^\circ$.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas vous fier au visuel ! L'énoncé précise que les figures ne sont pas en vraie grandeur. Il est strictement interdit d'utiliser un rapporteur. Un autre piège fréquent concerne la calculatrice : assurez-vous qu'elle est bien réglée en mode 'Degrés' et non 'Radians' ou 'Grades' pour la première figure. Pour la figure 2, n'oubliez pas de justifier la nature du triangle ABC ; citer la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle est crucial pour obtenir les points de rédaction.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, structurez votre réponse selon le schéma 'Je sais que / Or / Donc'. Par exemple, pour la figure 1 : 'Je sais que le triangle ABC est rectangle en A. Or $\sin(\widehat{ABC}) = AC/BC$. Donc $\sin(\widehat{ABC}) = 3/6$.' Pour la géométrie, la clarté des théorèmes cités est aussi importante que le résultat numérique. Nommez précisément les angles avec trois lettres et le sommet au milieu pour éviter toute confusion avec les longueurs de segments.