Introduction aux notions de Fonctions et Proportionnalité

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2013 (Zone Étrangers) constitue un support pédagogique idéal pour maîtriser les deux piliers de l'analyse en classe de troisième : la proportionnalité et l'étude des fonctions (affines et non-affines). À travers l'exemple concret d'un éditeur de revue, l'élève est amené à jongler entre expressions algébriques, interprétations concrètes et lectures graphiques. Cette approche multidisciplinaire est caractéristique des épreuves du DNB, où les mathématiques servent à modéliser des situations réelles de la vie économique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice repose sur deux fonctions distinctes : $A(x) = -50x + 1250$, qui représente le nombre d'abonnés en fonction du prix $x$, et $R(x) = -50x^2 + 1250x$, qui représente la recette totale. Il est crucial de comprendre que la recette est le produit du prix par le nombre d'abonnés, soit $R(x) = x \times A(x)$.

1. La question de la proportionnalité

Pour déterminer si le nombre d'abonnés est proportionnel au prix, nous devons analyser la forme de la fonction $A(x)$. Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire de type $f(x) = ax$. Ici, $A(x)$ est une fonction affine de la forme $ax + b$ avec $b = 1250$. Graphiquement, la droite représentative ne passe pas par l'origine $(0;0)$. De plus, si l'on calcule le rapport $A(x)/x$ pour deux valeurs différentes, on n'obtiendra pas le même coefficient. Conclusion : il n'y a pas proportionnalité.

2. Vérification par le calcul et interprétation

On nous demande de calculer $A(10)$. En remplaçant $x$ par $10$ dans l'expression : $A(10) = -50 \times 10 + 1250 = -500 + 1250 = 750$. L'interprétation concrète est la suivante : si l'éditeur fixe le prix de la revue à 10 euros, il obtiendra 750 abonnés. Cette étape est cruciale car elle permet de valider la compréhension des variables en jeu.

3. Nature de la fonction Recette

La fonction $R(x) = -50x^2 + 1250x$ contient un terme en $x^2$. Par définition, une fonction affine s'écrit sous la forme $f(x) = ax + b$. La présence du carré fait de $R$ une fonction polynôme du second degré. Graphiquement, cela se traduit par une parabole et non par une droite. La réponse est donc négative : $R$ n'est pas une fonction affine.

4. Optimisation de la recette : Lecture graphique

L'étude du maximum est un classique. En observant la courbe de la fonction $R$, on cherche le point le plus haut de la parabole. Le sommet semble être atteint pour $x = 12,5$. Cela signifie que pour maximiser ses gains, l'éditeur doit vendre sa revue 12,50 euros. À ce prix, la recette dépasse les 7500 euros.

5. Recherche d'antécédents

Chercher les antécédents de 6800 par $R$ revient à résoudre graphiquement l'équation $R(x) = 6800$. On trace une droite horizontale à l'ordonnée 6800 et on regarde les points d'intersection avec la courbe bleue. On lit deux valeurs sur l'axe des abscisses : $x = 8$ et $x = 17$. Il existe donc deux prix différents permettant d'atteindre une recette de 6800 euros.

6. Cas particulier : Le prix de 5 euros

Si la revue coûte 5 euros ($x=5$) :
- Nombre d'abonnés : $A(5) = -50 \times 5 + 1250 = 1000$.
- Recette : $R(5) = 5 \times 1000 = 5000$ euros. On peut aussi le vérifier sur le deuxième graphique à l'abscisse 5.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre les deux graphiques : l'un représente un effectif (abonnés), l'autre une valeur monétaire (recette). Une erreur classique consiste à utiliser la mauvaise courbe pour répondre à une question. Veillez également à bien lire les unités sur les axes : l'axe des ordonnées du second graphique a une échelle très importante (jusqu'à 8000).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, ne vous contentez pas de donner un chiffre. Utilisez des phrases de type : 'D'après la lecture graphique de la courbe de la fonction R, on constate que...'. Pour les justifications algébriques, montrez l'étape de substitution de la valeur $x$. Enfin, n'oubliez jamais de préciser les unités (euros, abonnés) dans vos conclusions.