Introduction aux notions de calcul littéral et aux démonstrations
Le calcul littéral est l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème. Dans cet exercice issu du Brevet 2013 (Zone Amérique du Nord), nous abordons une situation concrète : l'utilisation d'une astuce de calcul mental pour élever au carré un nombre se terminant par 0,5. L'objectif de cet exercice est double. D'une part, il s'agit de tester la capacité de l'élève à appliquer une règle numérique simple sur des exemples concrets ($3,5^2$ et $7,5^2$). D'autre part, il demande de passer de l'arithmétique à l'algèbre en utilisant le calcul littéral pour prouver que cette règle est universelle. Cette transition est cruciale pour réussir l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB), car elle mobilise les compétences de développement, d'identité remarquable et de factorisation.
Analyse méthodique : De l'observation à la généralisation
L'exercice commence par une situation de calcul mental proposée par Julie. Elle suggère que pour calculer $3,5^2$, il suffit de multiplier la partie entière (3) par l'entier suivant (4), soit $3 \times 4 = 12$, puis d'ajouter $0,25$. Le résultat obtenu est $12,25$. La première question demande de vérifier cette conjecture par un calcul direct. En posant la multiplication $3,5 \times 3,5$ ou en utilisant la calculatrice, l'élève confirme que le carré de $3,5$ est bien $12,25$. Cette étape permet de valider la compréhension de l'énoncé avant d'aller plus loin.
La deuxième question sollicite la capacité d'analogie de l'élève. On demande de calculer $7,5^2$ en suivant la même logique. Ici, la partie entière $n$ est $7$. Le calcul à effectuer devient donc $7 \times (7 + 1) + 0,25$, soit $7 \times 8 + 0,25$. L'élève doit identifier que $7 \times 8 = 56$, donc le résultat est $56,25$. Cette phase d'application numérique prépare le terrain pour la troisième question, qui est le cœur algébrique de l'exercice : la démonstration de la formule $(n + 0,5)^2 = n(n + 1) + 0,25$.
Démonstration algébrique : Le raisonnement pas à pas
Pour prouver que la conjecture est vraie pour tout nombre entier positif $n$, il est impératif de maîtriser le développement. L'expression de gauche est $(n + 0,5)^2$. Il s'agit d'une identité remarquable de la forme $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. En remplaçant $a$ par $n$ et $b$ par $0,5$, on obtient :
$(n + 0,5)^2 = n^2 + 2 \times n \times 0,5 + 0,5^2$.
Simplifions cette expression :
1. Le terme $2 \times n \times 0,5$ devient simplement $n$ (car le double de la moitié d'un nombre est le nombre lui-même).
2. Le terme $0,5^2$ est égal à $0,25$.
On arrive donc à l'expression développée : $n^2 + n + 0,25$.
Maintenant, observons l'expression de droite dans la conjecture de Julie : $n(n + 1) + 0,25$. En distribuant $n$ sur la parenthèse $(n + 1)$, on obtient $n \times n + n \times 1 + 0,25$, ce qui donne $n^2 + n + 0,25$. On constate que les deux expressions (celle de gauche développée et celle de droite distribuée) sont strictement identiques. La conjecture est donc prouvée mathématiquement pour tout entier $n$. Ce type de raisonnement 'par égalité des deux membres' est une méthode de rédaction très appréciée des correcteurs.
Les pièges classiques à éviter
Attention à ne pas tomber dans l'erreur courante qui consiste à croire que $(n + 0,5)^2$ est égal à $n^2 + 0,5^2$. C'est l'erreur du 'double produit oublié'. N'oubliez jamais que le carré d'une somme comporte trois termes après développement. Un autre piège réside dans la confusion entre 'conjecture' et 'preuve'. Vérifier la formule pour $n=3$ ou $n=7$ ne suffit pas à prouver qu'elle est toujours vraie. Seule la manipulation des lettres (le calcul littéral) permet d'apporter une preuve universelle. Enfin, veillez à bien lire la consigne : si l'énoncé précise que $n$ est un entier positif, restez dans ce cadre, même si la formule s'avérerait techniquement vraie pour des nombres non entiers.
Conseils de rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points sur un tel exercice, la clarté est votre meilleure alliée. Pour la question 1, montrez clairement votre calcul : $3,5 \times 3,5 = 12,25$. Pour la question 3, utilisez des connecteurs logiques : 'Développons le membre de gauche d'une part...', 'Développons le membre de droite d'autre part...', puis concluez par 'On observe que les deux expressions sont égales, donc la conjecture de Julie est vraie pour tout $n$'. Encadrez vos résultats finaux et assurez-vous que vos puissances sont bien lisibles. Une copie propre et structurée rassure le correcteur sur votre rigueur mathématique.