Analyse de l'énoncé

Cet exercice du Brevet 2024 est excellent car il mobilise les quatre grandes notions fondamentales de la classe de 3ème : les Fonctions, le Calcul littéral (développement et factorisation), la maîtrise des outils numériques (le Tableur) et la résolution d'Équations. Il porte sur l'étude d'une fonction quadratique $f(x) = x^2 + 10x + 16$ et demande de jongler entre différentes formes de son expression.

Points clés et Méthodes de Résolution

• Calcul de l'image (Q1): Pour trouver l'image de 6, il suffit de remplacer la variable $x$ par 6 dans l'expression algébrique : $f(6) = 6^2 + 10(6) + 16$. Le résultat, 112, confirme la compréhension du vocabulaire lié aux fonctions.
• Maîtrise du Tableur (Q2.a): Lorsque l'on étire une formule sur un tableur (de B2 vers la droite), les références de colonnes doivent être relatives pour s'adapter à la nouvelle colonne. Si la valeur de $x$ est dans la cellule B1, la formule saisie en B2 doit impérativement faire référence à B1. La formule correcte est donc =B1*B1+10*B1+16. L'utilisation de A1 rendrait la référence fixe et donc incorrecte lors de l'étirement.
• Lecture du Tableau (Q2.b): Déterminer un antécédent de 0 revient à chercher la valeur de $x$ (ligne 1) pour laquelle $f(x)$ (ligne 2) est égal à 0. La lecture de la colonne C indique que lorsque $x=-2$, $f(x)=0$. $-2$ est donc un antécédent de 0.
• Calcul Littéral (Q3.a - Factorisation): La démonstration de l'égalité $f(x) = (x + 2)(x + 8)$ se fait par le développement de la forme factorisée. En appliquant la double distributivité : $(x + 2)(x + 8) = x imes x + x imes 8 + 2 imes x + 2 imes 8 = x^2 + 8x + 2x + 16$. Après simplification, on retrouve bien $x^2 + 10x + 16$.
• Résolution d'Équation (Q3.b): Chercher les antécédents de 0 implique de résoudre $f(x)=0$. En utilisant la forme factorisée : $(x+2)(x+8)=0$. Grâce à la propriété du produit nul, on obtient deux solutions : $x+2=0$ (soit $x=-2$) et $x+8=0$ (soit $x=-8$). Le deuxième antécédent de 0 est donc $-8$. Cette dernière question prouve l'intérêt de la factorisation pour la résolution d'équations au Brevet.