Analyse de l'énoncé : Comparaison des Tarifs de Cinéma

Cet exercice du Brevet 2024 (Amérique du Nord) est un classique très formateur pour les élèves de Troisième. Il propose de comparer trois modes de tarification d'un cinéma, ce qui permet d'étudier simultanément trois types fondamentaux de fonctions : linéaire, affine et constante. La difficulté réside dans l'association correcte des formules algébriques, des situations concrètes et des représentations graphiques.

Points clés : Association Fonction/Tarif

La clé de l'exercice repose sur la capacité à modéliser chaque situation par une fonction $y = f(x)$, où $x$ est le nombre d'entrées et $y$ le prix payé :

• Tarif Classique : Le prix est directement proportionnel au nombre d'entrées (11€ par entrée). C'est une fonction linéaire. L'unique fonction linéaire est $h(x) = 11x$. Graphiquement, elle est représentée par une droite passant par l'origine.
• Tarif Essentiel : Le prix comprend un coût fixe (abonnement 50€) et un coût variable (5€ par entrée). C'est une fonction affine. La fonction associée est $f(x) = 50 + 5x$. Graphiquement, c'est une droite coupant l'axe des ordonnées au point (0, 50).
• Tarif Liberté : Le prix est fixe quelle que soit la quantité d'entrées (240€). C'est une fonction constante. La fonction est $g(x) = 240$. Sa représentation est une droite horizontale.

Question sur la Proportionnalité (Q.4) : Par définition, seule la fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Ainsi, le Tarif Classique ($h: x \longmapsto 11x$) est le seul qui propose un prix proportionnel au nombre d'entrées.

Interprétation Graphique et Résolution d'Équations

Les dernières questions nécessitent de lire ou de calculer des points d'intersection ou des antécédents, confirmant l'importance de la lecture graphique :

• Q.5.a (Maximum pour 150€, Essentiel) : Il faut résoudre $50 + 5x = 150$. On trouve $5x = 100$, soit $x=20$.
• Q.5.b (Quand Liberté devient le plus intéressant) : On cherche quand $g(x)$ devient inférieur à $f(x)$ et $h(x)$. Le dernier point d'intersection atteint par $g(x) = 240$ est avec le tarif Essentiel ($f(x)$), soit $50 + 5x = 240$. Résultat : $x=38$. Le tarif Liberté devient le plus intéressant à partir de 39 entrées.
• Q.5.c (Budget 200€) : Le Tarif Essentiel permet 30 entrées ($50 + 5x = 200 \implies x=30$). C'est le maximum pour ce budget, car le Tarif Classique permet seulement 18 entrées, et le Tarif Liberté est trop cher (240€). Le meilleur choix est donc le Tarif Essentiel.