Analyse de l'énoncé : Révision Complète du Programme de 3ème
Cet exercice, présenté sous forme de questions Vrai/Faux, est typique du Brevet puisqu'il permet d'évaluer la maîtrise de cinq compétences fondamentales en mathématiques : les statistiques descriptives, la conversion de vitesse, les probabilités (nombres premiers) et les propriétés des agrandissements-réductions via l'homothétie. Une justification rigoureuse est essentielle pour obtenir tous les points.
Affirmations A et B : Maîtrise des Statistiques
Justification de l'Affirmation A (Moyenne)
Pour calculer la moyenne $M$ des prix (12, 15, 10, 7, 13), nous sommons toutes les valeurs et divisons par leur nombre, soit 5 :
$$M = \frac{12 + 15 + 10 + 7 + 13}{5} = \frac{57}{5} = 11,4$$
L'affirmation A est donc Vraie.
Justification de l'Affirmation B (Médiane)
Pour déterminer la médiane, il faut d'abord ordonner la série statistique : 7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15. La série comporte $N=5$ valeurs. La médiane est la valeur centrale, soit la 3ème valeur. $$M_e = 12$$
L'affirmation B, qui prétend que la médiane est 10 €, est Fausse. (La médiane est 12 €).
Affirmation C : Conversion de Vitesse
L'élève parcourt $D = 20$ mètres en $T = 6$ secondes. La vitesse moyenne $V$ est d'abord calculée en m/s : $$V = \frac{20}{6} \text{ m/s}$$
Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6 (car $3600 \text{ s} / 1000 \text{ m} = 3,6$): $$V = \frac{20}{6} \times 3,6 = 20 \times 0,6 = 12 \text{ km/h}$$
L'affirmation C est Fausse. (La vitesse est de 12 km/h).
Affirmation D : Probabilités et Nombres Premiers
L'urne contient 15 boules (numéros de 1 à 15). Il faut identifier les nombres premiers dans cet ensemble. Rappelons que 1 n'est pas un nombre premier.
- Nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Il y a 6 issues favorables. La probabilité $P$ est : $$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
L'affirmation D, qui indique une probabilité de $7/15$, est Fausse.
Affirmation E : Homothétie et Aires
Le triangle A'B'C' est l'image de ABC par une homothétie de rapport $k = -3$. Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
$$\text{Aire}(A'B'C') = k^2 \times \text{Aire}(ABC) = (-3)^2 \times \text{Aire}(ABC) = 9 \times \text{Aire}(ABC)$$
L'aire est donc multipliée par 9, et non par 3. L'affirmation E est Fausse.