Analyse et Stratégie pour l'Exercice de Géométrie

Cet exercice 3, extrait du Brevet 2024 en Polynésie, est un excellent sujet de révision qui synthétise plusieurs notions fondamentales de géométrie vues en classe de Troisième. Il met à l'épreuve l'élève sur l'application séquentielle de la trigonométrie, du théorème de Pythagore, des propriétés des triangles isométriques (égaux), et enfin, des effets d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires.

Points clés de l'exercice :

• Question 1 : Calcul par Trigonométrie. Le triangle ONM est rectangle en N. Pour calculer la longueur MN (côté opposé) connaissant ON (côté adjacent) et l'angle $\widehat{MON}$, la fonction trigonométrique appropriée est la tangente : $ an( ext{angle}) = ext{Opposé} / ext{Adjacent}$. Il faudra veiller à donner le résultat approché au millimètre près, comme demandé.
• Question 2 : Application du Théorème de Pythagore. Dans le triangle OPQ, rectangle en P, l'objectif est de vérifier une longueur. On utilise le théorème de Pythagore : $OP^2 + PQ^2 = OQ^2$. C'est une vérification standard qui confirme que $OP = 6$ cm.
• Question 3 : Distinguer Triangles Égaux et Triangles Semblables. Une erreur fréquente est de confondre ces deux concepts. Deux triangles sont égaux (ou isométriques) si et seulement si leurs côtés sont deux à deux de mêmes longueurs (ou s'ils vérifient les critères d'égalité des triangles). Si cette condition n'est pas remplie, ils ne sont pas égaux. Il suffit de comparer les longueurs des côtés correspondants (ex: $ON=6$ cm et $OQ=6,5$ cm, ou $ON=6$ cm et $OP=6$ cm, mais si $MN eq PQ$, l'égalité est réfutée).
• Question 4 : Rapport d'Aires et Agrandissement/Réduction. Nous sommes dans le cas où OPQ est un agrandissement de ORS. Pour calculer l'aire du petit triangle ORS, la méthode la plus efficace est d'utiliser le rapport des aires. Si $k$ est le coefficient d'agrandissement (de ORS vers OPQ), alors l'aire de OPQ est $k^2$ multipliée par l'aire de ORS. Nous devons d'abord déterminer $k$ à partir des longueurs homologues connues (par exemple $k = OQ/OS$) puis calculer l'aire de OPQ. Rappel : $k_{ ext{aire}} = k^2$.

Cet exercice demande rigueur dans l'application des théorèmes et une bonne compréhension des propriétés des figures géométriques à différentes échelles.