Analyse de l'énoncé : Les fonctions du Brevet 2022

Cet exercice est fondamental pour la préparation au Diplôme National du Brevet (DNB), car il couvre la totalité du chapitre sur les Fonctions. Il teste votre capacité à manipuler et interpréter les fonctions présentées sous quatre formes différentes : un tableau de valeurs (Partie 1), un programme de calcul (Partie 2), une expression algébrique (Partie 3) et des représentations graphiques (Partie 4).

La réussite dépend d'une maîtrise parfaite des notions d'image (le résultat, sur l'axe des ordonnées $y$ ou $f(x)$) et d'antécédent (le nombre de départ, sur l'axe des abscisses $x$).

Méthodologie détaillée et points clés

Partie 1 : Lecture de tableau (Fonction f)

La lecture du tableau est directe. L'image de $3$ est la valeur $f(x)$ correspondante lorsque $x=3$, soit $-5$. Un antécédent de $1$ est le $x$ pour lequel $f(x)=1$, soit $x=0$. C'est le point de départ pour comprendre les relations entre $x$ et $f(x)$.

Partie 2 : Programme de calcul et expression littérale (Fonction g)

Traduire le programme de calcul en fonction $g(x)$ nécessite de respecter l'ordre des opérations. L'étape «Ajouter 1» vient avant «Calculer le carré». Si $x$ est le nombre choisi, on obtient : $g(x) = (x+1)^2$. Il faut impérativement utiliser les parenthèses. Les calculs donnent $g(1)=4$ et $g(-2)=1$.

Partie 3 : Calculs et résolution d'équation (Fonction h)

Pour calculer l'image de $3$ par $h(x) = 2x^2 - 3$, on substitue $x$ par 3 : $h(3) = 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15$. Pour trouver un antécédent de $5$, il faut résoudre l'équation $h(x)=5$, soit $2x^2 - 3 = 5$. En isolant $x^2$, on trouve $x^2 = 4$. Attention ! Les solutions sont $x=2$ ET $x=-2$. Il y a deux antécédents.

Partie 4 : Association graphique

L'étape finale est la lecture graphique. Il faut associer la nature de la fonction à la forme de la courbe :

• La fonction $f$ (qui s'avère être affine : $f(x) = 1 - 2x$) est représentée par une droite. Elle correspond à la Représentation n°1.
• Les fonctions $g(x) = (x+1)^2$ et $h(x) = 2x^2 - 3$ sont quadratiques, représentées par des paraboles.
• La fonction $h(x) = 2x^2 - 3$ a pour minimum $h(0)=-3$. Seule la Représentation n°2 passe par le point $(0; -3)$. C'est donc la fonction $h$.
• Par élimination, la Représentation n°3 correspond à $g$. On peut vérifier que $g$ passe par $(-1; 0)$, car $g(-1)=0$.