Analyse de l'énoncé et Notions Abordées
Cet exercice, issu du Brevet 2016 (zone Asie), est un classique du DNB. Il prend la forme d'un QCM où l'élève doit non seulement juger si l'affirmation est vraie ou fausse, mais surtout la justifier rigoureusement. Ce type d'exercice teste la maîtrise de trois piliers des mathématiques de 3ème : l'Arithmétique (diviseurs et PGCD), le Calcul numérique (propriétés des racines carrées) et les Pourcentages (augmentations successives).
Affirmation 1 : Deux nombres impairs sont-ils toujours premiers entre eux ?
Cette affirmation est Fausse. L'erreur commune est de penser qu'en n'étant pas multiples de 2, ils ne peuvent partager d'autres facteurs. Pour la justifier, il suffit de trouver un contre-exemple simple : des nombres impairs ayant un diviseur commun autre que 1. Prenons A = 9 et B = 15. Ces deux nombres sont impairs. Les diviseurs de 9 sont {1, 3, 9} et ceux de 15 sont {1, 3, 5, 15}. Leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) est 3. Puisque PGCD(9; 15) = 3 ≠ 1, 9 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
Affirmation 2 : Propriétés des racines carrées
L'affirmation : $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ pour tout nombre entier positif $a$ et $b$, est Fausse. Il s'agit d'une erreur algébrique fondamentale. La racine carrée n'est pas distributive sur l'addition. Pour justifier l'erreur, on utilise un contre-exemple : Choisissons $a=4$ et $b=9$ (des carrés parfaits pour simplifier le calcul).
- Calcul de gauche : $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.
- Calcul de droite : $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Puisque $5 \neq \sqrt{13}$, l'égalité n'est pas toujours vérifiée. (Note : Cette égalité est vraie uniquement si $a=0$ ou $b=0$).
Affirmation 3 : Gestion des augmentations successives
L'affirmation : Si un prix augmente de 20\% puis de 30\%, l'augmentation totale est de 56\%. Cette affirmation est Vraie. On ne peut pas simplement additionner les pourcentages ($20\% + 30\% = 50\%$), car la seconde augmentation s'applique sur le nouveau prix (majoré). On utilise les coefficients multiplicateurs ($C_M$) :
- $C_{M1}$ (augmentation de 20\%) : $1 + \frac{20}{100} = 1,20$.
- $C_{M2}$ (augmentation de 30\%) : $1 + \frac{30}{100} = 1,30$.
Le coefficient global est le produit des coefficients : $C_{Global} = C_{M1} \times C_{M2} = 1,20 \times 1,30 = 1,56$. Ce coefficient global correspond à une augmentation de $(1,56 - 1) \times 100 = 56\%$. L'affirmation est donc correcte.
Points clés
- Justifier une affirmation fausse nécessite un seul contre-exemple.
- Les pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.