Analyse de l'énoncé : Fonctions et Modélisation de Trajectoire

Cet exercice, issu du Brevet 2014 en Polynésie, est un classique de 3ème. Il utilise le concept des fonctions pour modéliser une situation concrète : la trajectoire d'une flèche. La courbe fournie est une parabole, typique des fonctions du second degré, permettant d'étudier comment la hauteur varie en fonction de la distance horizontale parcourue.

Partie 1 : Maîtriser la Lecture Graphique

La première partie est essentielle pour valider la compréhension des axes de coordonnées : l'axe horizontal ($x$) représente la distance (antécédent), et l'axe vertical ($y$ ou $f(x)$) représente la hauteur (image). Ici, la lecture graphique est privilégiée, obligeant l'élève à identifier des points clés :

• Hauteur initiale (1.a) : C'est la hauteur lorsque la distance horizontale est nulle (image de $x=0$). Graphiquement, on lit l'ordonnée à l'origine (ici, $y=1$ m).
• Retombée au sol (1.b) : Cela correspond au point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ($y=0$). On cherche l'antécédent de 0 (ici, $x=10$ m).
• Hauteur maximale (1.c) : Il s'agit du sommet de la parabole. En observant le graphique, cette hauteur maximale est légèrement supérieure à 3 m.

Partie 2 : Vérification par le Calcul Algébrique

La fonction est explicitement donnée : $f(x) = - 0,1 x^2 + 0,9x + 1$. Cette partie permet de vérifier la capacité de l'élève à calculer l'image d'un nombre par substitution.

• Calcul de $f(5)$ (2.a) : On remplace $x$ par 5 dans l'expression : $f(5) = -0,1(5^2) + 0,9(5) + 1 = -2,5 + 4,5 + 1 = 3$. La flèche est à 3 m de hauteur lorsque la distance parcourue est de 5 m.
• Question sur la hauteur maximale (2.b) : Nous savons d'après la lecture graphique que la hauteur maximale est atteinte pour $x=4,5$ (milieu de 0 et 9, où 9 est l'autre racine, ou sommet de la parabole). Si nous calculons $f(4,5) = -0,1(4,5)^2 + 0,9(4,5) + 1 = -2,025 + 4,05 + 1 = 3,025$. Puisque $3,025 > 3$, la flèche s'élève bien à plus de 3 m de hauteur. Ce résultat confirme la lecture graphique et montre la complémentarité entre les deux méthodes.

Points clés à retenir

• L'image $f(x)$ donne la hauteur ($y$).
• L'antécédent $x$ donne la distance horizontale.
• L'étude des fonctions permet de modéliser avec précision des phénomènes physiques comme une trajectoire parabolique.